Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Кривизна.Чтобы судить на глаз о большем или меньшем искривлении пути, тонкого стержня или линии на чертеже, не нужно быть математиком. Но уже для простейших задач механики этого общего взгляда недостаточно, нужна точная количественная характеристика искривленности. Ее получают, ясно выражая то содержание, которое имеется в наглядном представлении о кривизне как быстроте изменения направления кривой. Пусть А — точка на кривой и М — точка, близкая к А (рис. 8). Угол между касательными в этих точках выражает поворот кривой на участке от А до М. Обозначим этот угол через
В качестве примера рассмотрим кривизну окружности (рис. 9). Очевидно, угол сторонами, равны. Дуга
Значит, отношение постоянно, поэтому кривизна окружности, как предельное значение этого отношения, одинакова во всех точках в равна обратной величине радиуса. Выведем формулу кривизны плоской кривой, заданной уравнением
Ввиду того что угол а мог и убывать, мы берем абсолютную величину
Рис. 9.
Рис. 10. Нас интересует величина
Длина дуги кривой
откуда
Остается найти а. Мы знаем, что
Итак, окончательно
Соответствующие формулы для других способов задания кривой и для пространственных кривых выводятся в обычных курсах анализа или дифференциальной геометрии.
Рис. 11. Полученная формула позволяет дать другое геометрическое истолкование кривизны, которое полезно во многих вопросах. Именно, кривизна кривой в данной точке [может быть выражена формулой
где Для доказательства выберем прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат совпало с данной точкой кривой, а ось учтено, что
Эта формула показывает, что кривизна характеризует скорость отхода кривой от касательной. Остановимся на некоторых важнейших связях понятия кривизны с задачами механики.
Рис. 12. Первой рассмотрим следующую задачу. Пусть гибкая нить натянута на некоторую опору (рис. 12), причем нить остается в одной плоскости. Требуется найти давление нити на опору в каждой точке, точнее, определить предел
где Р — величина силы Р, действующей на опору со стороны участка длины Рассмотрим точку А и прилегающий к ней участок С уменьшением Для разыскания величины давления воспользуемся тем, что малая дуга окружности близка по длине к стягивающей ее хорде, и заменим длину хорды
Итак, давление в каждой точке равно произведению кривизны на натяжение нити и направлено перпендикулярно касательной в этой точке. Рассмотрим другую задачу. Пусть материальная точка (т. е. очень малое тело) движется по кривой на плоскости с постоянной по величине скоростью
где
где Если обратиться к рис. 13 и учесть, что скорость в каждой точке направлена по касательной, а величина ее постоянна, то разыскание суммы —
Кроме того,
и направлено по нормали к кривой, т. е. по прямой, перпендикулярной к касательной. Ссылка на геометрическую аналогию, позволившая нам использовать результат решения задачи о нити при решении задачи об ускорении, лишний раз показывает, как отвлечение математических понятий и выводов от конкретных особенностей явления обогащает эти выводы возможностью их разнообразного применения.
Рис. 13. Заметим еще, что кривизна, отражающая с механической точки зрения изменение направления движения, оказывается тесно связанной с силами, вызывающими это изменение. Выражение этой связи легко получить, помножив равенство (3) на массу
Здесь
|
1 |
Оглавление
|