Кривизна.

Чтобы судить на глаз о большем или меньшем искривлении пути, тонкого стержня или линии на чертеже, не нужно быть математиком. Но уже для простейших задач механики этого общего взгляда недостаточно, нужна точная количественная характеристика искривленности. Ее получают, ясно выражая то содержание, которое имеется в наглядном представлении о кривизне как быстроте изменения направления кривой.

Пусть А — точка на кривой и М — точка, близкая к А (рис. 8). Угол между касательными в этих точках выражает поворот кривой на участке от А до М. Обозначим этот угол через . Средняя скорость поворота, точнее средний поворот на единицу длины пути на участке длины очевидно, будет Кривизну же, как скорость поворота кривой в самой точке А, естественно, определить как предел отношения при иначе говоря, при Итак, кривизну определяют формулой

В качестве примера рассмотрим кривизну окружности (рис. 9). Очевидно, угол между радиусами ОА, ОМ и угол о между касательными в точках А и М, как составленные взаимно перпендикулярными

сторонами, равны. Дуга стягивающая угол , имеет длину откуда

Значит, отношение постоянно, поэтому кривизна окружности, как предельное значение этого отношения, одинакова во всех точках в равна обратной величине радиуса.

Выведем формулу кривизны плоской кривой, заданной уравнением . За начало отсчета длины дуги примем фиксированную точку (рис. 10). Угол между касательными в точках А и очевидно, равен по величине изменению угла наклона касательной при переходе от А к М

Ввиду того что угол а мог и убывать, мы берем абсолютную величину

Рис. 9.

Рис. 10.

Нас интересует величина

Длина дуги кривой выражается интегралом

откуда

Остается найти а. Мы знаем, что поэтому Продифференцировав последнее равенство по х, получаем

Итак, окончательно

Соответствующие формулы для других способов задания кривой и для пространственных кривых выводятся в обычных курсах анализа или дифференциальной геометрии.

Рис. 11.

Полученная формула позволяет дать другое геометрическое истолкование кривизны, которое полезно во многих вопросах. Именно, кривизна кривой в данной точке [может быть выражена формулой

где — расстояние от точки на кривой до касательной в данной точке, длина отрезка касательной от точки касания до проекции на нее точки кривой (рис. 11).

Для доказательства выберем прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат совпало с данной точкой кривой, а ось касалась кривой в этой точке (рис. 11). (Для простоты считаем кривую плоской.) Тогда и потому Разлагая по формуле Тейлора функцию задающую кривую, получим: (здесь

учтено, что При этом когда Отсюда вытекает, что

Эта формула показывает, что кривизна характеризует скорость отхода кривой от касательной.

Остановимся на некоторых важнейших связях понятия кривизны с задачами механики.

Рис. 12.

Первой рассмотрим следующую задачу. Пусть гибкая нить натянута на некоторую опору (рис. 12), причем нить остается в одной плоскости. Требуется найти давление нити на опору в каждой точке, точнее, определить предел

где Р — величина силы Р, действующей на опору со стороны участка длины , содержащего данную точку. Предположим для простоты, что величина Т натяжения Т вдоль всей нити одинакова.

Рассмотрим точку А и прилегающий к ней участок На участок нити длиной кроме реакции опоры, действуют только две внешние силы — натяжения на концах, равные по величине и направленные в разные стороны по касательным в концах участка. Поэтому на опору со стороны нити давит сила Р, равная геометрической сумме натяжений на концах. Как видно из рис. 12, вектор Р служит основанием в равнобедренном треугольнике Боковые стороны этого треугольника равны Т, а угол при вершине С равен повороту касательной при переходе от А к В.

С уменьшением угол уменьшается, а угол между Р и касательной в точке А приближается к прямому. Поэтому давление направлено перпендикулярно касательной.

Для разыскания величины давления воспользуемся тем, что малая дуга окружности близка по длине к стягивающей ее хорде, и заменим длину хорды т. е. величину Р, длиной дуги Тогда по формуле (2) получим

Итак, давление в каждой точке равно произведению кривизны на натяжение нити и направлено перпендикулярно касательной в этой точке.

Рассмотрим другую задачу. Пусть материальная точка (т. е. очень малое тело) движется по кривой на плоскости с постоянной по величине скоростью Каково ее ускорение в данной точке А? По самому определению ускорения оно равно пределу отношения приращения скорости (за время ) к приросту времени Скорость берется при этом не только по величине, но и по направлению, т. е. мы рассматриваем изменение вектора скорости. Стало быть, математически задача о величине ускорения сводится к нахождению предела

где — скорость в самой точке А, а — длина вектора, выражающего разность скоростей. Предел, который нас интересует, можно еще переписать так:

где — длина дуги А В, пройденной за время

Если обратиться к рис. 13 и учесть, что скорость в каждой точке направлена по касательной, а величина ее постоянна, то разыскание суммы — по геометрической сути дела ничем не будет отличаться от разыскания вектора Р в предыдущей задаче. Поэтому можно воспользоваться готовым решением предшествующей задачи и, заменяя натяжение скоростью, написать

Кроме того, . Поэтому окончательно можно сказать, что ускорение, которое испытывает тело при равномерном движении по кривой, равно произведению кривизны на квадрат скорости

и направлено по нормали к кривой, т. е. по прямой, перпендикулярной к касательной.

Ссылка на геометрическую аналогию, позволившая нам использовать результат решения задачи о нити при решении задачи об ускорении, лишний раз показывает, как отвлечение математических понятий и выводов от конкретных особенностей явления обогащает эти выводы возможностью их разнообразного применения.

Рис. 13.

Заметим еще, что кривизна, отражающая с механической точки зрения изменение направления движения, оказывается тесно связанной с силами, вызывающими это изменение. Выражение этой связи легко получить, помножив равенство (3) на массу движущейся точки. Получим

Здесь — величина нормальной составляющей силы, действующей на точку.