§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Круг задач, в которых явление описывается непрерывно дифференцируемыми функциями, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям, можно существенно расширить, вводя в рассмотрение разрывные решения этих уравнений.

В ряде случаев заранее ясно, что рассматриваемая задача не может иметь дважды непрерывно дифференцируемых решений, т. е. с точки зрения описанной в предыдущих параграфах классической постановки такая задача не имеет решения. Тем не менее соответствующий физический процесс происходит, хотя мы и не можем найти описывающие его функции в наперед заданном классе дважды дифференцируемых функций. Приведем этому простые примеры.

1) Если струна составлена из двух кусков разной плотности, то в уравнении

коэффициент а равен на соответствующих участках различным постоянным, и поэтому уравнение (24) вообще не будет иметь классических (дважды непрерывно дифференцируемых) решений.

2) Пусть коэффициент а постоянен, но в начальном положении струна имеет форму ломаной, задаваемой уравнением и . В вершине ломаной функция очевидно, не имеет первой производной. Можно показать, что не существует классического решения уравнения (24), отвечающего начальным условиям

(здесь и далее обозначает )

3) Если резко ударить по какому-нибудь маленькому участку струны, то вызванные этим воздействием колебания описываются уравнением

где соответствует произведенному воздействию и является разрывной функцией, отличной от нуля лишь на маленьком участке струны и в короткий промежуток времени. Такое уравнение, как легко видеть, также не может иметь классических решений.

Уже приведенные примеры показывают, что требование непрерывности производных у искомого решения сильно сужает круг разрешимых задач. Поиски более широкого круга разрешимых задач пошли прежде всего по пути допущения разрыров первого рода у старших производных тех функций, которые служат решениями задачи, причем уравнению такие функции должны удовлетворять всюду, кроме точек разрыва. Оказалось, что решения уравнения типа внутри области определения не могут иметь таких (так называемых слабых) разрывов. Решения же волнового уравнения могут иметь слабые разрывы в пространстве переменных лишь на поверхностях специального вида (так называемых характеристических поверхностях). Если решение и волнового уравнения рассматривать как функцию, определяющую при скалярное поле в пространстве в момент времени то поверхности разрыва вторых производных от и будут перемещаться в пространстве со скоростью, равной корню квадратному из коэффициента, стоящего при операторе Лапласа в волновом уравнении.

Однако второй пример со струной показывает, что необходимо также рассматривать решения, у которых могут быть разрывны первые производные, а в случае, например, звуковых и световых колебаний — и решения, которые сами имеют разрывы.

Первый вопрос, встающий перед исследователями при введении разрывных решений, заключается в том, чтобы выяснить, какие разрывные функции следует считать физически допустимыми решениями того или иного уравнения, той или иной поставленной для этого уравнения задачи. Можно ли, например, считать произвольную кусочно-постоянную функцию «единым решением» уравнения Лапласа или волнового уравнения, поскольку она вне линий разрыва удовлетворяет уравнениям.

Выясняя этот вопрос, следует прежде всего позаботиться о том, чтобы в том более широком классе функций, которому должны принадлежать все допустимые решения, амела место теорема единственности. Довольно ясно, что если допустить, например, произвольные кусочно-гладкие функции, то это требование не будет выполнено.

Первый по времени принцип выделения допустимых решений заключался в том, что эти функции должны быть пределами (в том или ином смысле) для классических решений того же уравнения. Так, в приведенном выше примере 2 решение уравнения (24), отвечающее функции не имеющей производной в точке излома, может быть получено как равномерный предел классических решений того же уравнения, отвечающих начальным условиям где — дважды непрерывно дифференцируемые функции, равномерно сходящиеся к при .

8 дальнейшем, вместо этого принципа, был выдвинут следующий: допустимое решение и должно удовлетворять вместо уравнения некоторому интегральному тождеству, содержащему произвольную функцию Ф.

Это тождество получается так: умножим обе части уравнения на произвольную функцию Ф, имеющую непрерывные производные по всем своим аргументам до порядка, равного порядку уравнения, и обращающуюся в нуль вне некоторой конечной области в которой определено уравнение. Полученное равенство проинтегрируем по и затем преобразуем его при помощи интегрирования

по частям так, чтобы в него не входили производные от . В результате этого получим желаемое тождество. Для уравнения (24), например, оно имеет вид

С. Л. Соболевым было доказано, что для уравнений с постоянными коэффициентами оба принципа выделения допустимых или, как теперь принято называть, — обобщенных решений, эквивалентны. Однако, для уравнений с переменными коэффициентами первый принцип может вообще оказаться неприменимым. Такие уравнения могут вообще не иметь классических решений (см. пример 1). Второй же принцип дает возможность выделять обобщенные решения при весьма широких предположениях о дифференциальных свойствах коэффициентов уравнения. Правда, этот принцип имеет на первый взгляд излишне формальный, чисто математический характер и не дает прямого указания на то, как следует ставить задачи, аналогичные классическим задачам.

Мы приведем здесь его видоизменение, которое, как нам кажется, физически более оправдано, так как непосредственно связано с известным принципом Гамильтона.

Как известно, анализ выводов различных уравнений математической физики привел в первой половине XIX в. к открытию нового закона — так называемого принципа Гамильтона. Исходя из этого принципа оказалось возможным единообразным путем получать все известные уравнения математической физики. Проиллюстрируем это на примере уже рассмотренной в § 3 задачи о колебании ограниченной, закрепленной на концах струны.

Прежде всего составим так называемую функцию Лагранжа для нашей струны, т. е. разность кинетической и потенциальной энергий. Из сказанного в § 3 следует, что

Согласно принципу Гамильтона, интеграл

принимает наименьшее значение для функции соответствующей истинному движению струны, по сравнению со всеми другими функциями равными нулю при и совпадающими при При этом фиксированы произвольно, а функции должны иметь конечные интегралы . Вследствие этого принципа так называемая первая вариация (см. главу VIII) должна быть равна нулю, т. е.

где — произвольная дифференцируемая по функция, равная нулю на сторонах прямоугольника

Равенство (25) и есть то условие, которому должна подчиняться искомая функция Если дополнительно известно, что имеет производные второго порядка, то условию (25) можно придать иную форму. Интегрируя частям и применяя основную лемму вариационного исчисления, найдем,

что и должно удовлетворять уравнению

которое совпадает с (24), если постоянны и

Нетрудно видеть, что любое решение и уравнения (26) удовлетворяет тождеству (25) для всех указанных Ф. Обратное оказывается неверным, ибо и может вообще не иметь вторых производных. Таким образом, мы расширим крут разрешимых задач, если заменим уравнение (26) тождеством (25).

Для выделения какого-то определенного режима колебания струны следует, помимо граничных условий

поставить еще и начальные

Если решение ищется в классе один раз непрерывно дифференцируемых функций, то условия (27) и (28) можно ставить отдельно от (25), как дополнительные требования. Если же предполагаемое решение «хуже», то эти условия в указанном виде теряют смысл и их следует частично или полностью включить в интегральное тождество (25).

Пусть, например, и непрерывно для а первые производные имеют разрывы. Тогда второе равенство (28) как предельное условие теряет смысл, В этом случае задачу можно поставить так. Найти удовлетворяющую условиям (27) и первому из условий (28), непрерывную функцию и, для которой тождественно выполнялось бы равенство

при всех непрерывных , равных нулю при Обе функции должны иметь при этом первые производные, вторая степень которых интегрируема в смысле Лебега по прямоугольнику . Последнее требование для и означает, что усредненное по времени значение полной энергии струны

должно быть конечным. Такое ограничение на функцию и, а потому и на ее возможные изменения Ф является естественным следствием принципа Гамильтона.

Тождество (29) есть не что иное, как условие равенства нулю первой вариации функционала

Поэтому задача о колебании закрепленной струны в рассматриваемом случае может быть поставлена как задача разыскания минимума функционала среди всех функций непрерывных, удовлетворяющих условию (27) и равных при . Кроме того, искомая функция должна удовлетворять первому из условий (28).

Приведенное здесь видоизменение принципа Гамильтона позволило не только расширить класс допустимых решений уравнения (24), но и поставить для них определенную краевую задачу.

То, что введенные обобщенные решения или какие-либо их производные могут быть определены не во всех точках пространства, не приводит к несоответствию с экспериментом. На это неоднократно указывал Н. М. Гюнтер, немало способствовавший своими исследованиями становлению новой точки зрения на понятие решения уравнений математической физики.

Если, например, мы решаем задачу на определение течения жидкости в каком-нибудь канале, то в классической постановке подлежат вычислению вектор скорости течения и давление в каждой точке потока. Но практически речь всякий раз идет не о давлении в точке, а о давлении потока на какую-нибудь площадку, не о векторе скорости в данной точке, а о количестве жидкости, протекающей за единицу времени через какую-нибудь площадку. Определение обобщенных решений и предполагает, по существу, вычисление именно этих величин, имеющих прямой физический смысл.

Для того чтобы большее число задач было разрешимо, следует искать решения среди функций, принадлежащих по возможности к наиболее широкому классу функций, но такому, в котором еще имели бы место теоремы единственности. Нередко такой класс диктуется физической сущностью задачи. Так, в квантовой механике реальный смысл имеет не функция состояния определяемая как решение дифференциального уравнения Шредингера, а интеграл где Ф, — некоторые функции, для которых . Поэтому решение ф следует искать не среди дважды непрерывно дифференцируемых функций, а среди функций, интегрируемых со второй степенью. В задачах квантовой электродинамики вопрос о том, в каких классах следует искать решения рассматриваемых уравнений, до сих пор остается открытым.

Прогресс математической физики за последние тридцать лет во многом связан с переходом к этим новым постановкам задач и с созданием математического аппарата, необходимого для их решения. Одно из центральных мест в этом аппарате занимают так называемые теоремы вложения С. Л. Соболева.

Особенно удобными методами разыскания обобщенных решений в том или ином классе функций являются: метод конечных разностей, прямые методы вариационного исчисления (методы Ритца и Трефтца), метод Галеркина и функциональнооператорные методы. В основе последних лежит изучение свойств преобразований, порожденных той или иной задачей, О методе конечных разностей и методе Галеркина уже говорилось в § 5. Здесь мы поясним идею, лежащую в основе прямых методов вариационного исчисления.

Рассмотрим задачу на определение положения равновесия упругой мембраны с жестко закрепленным краем. Согласно принципу о минимуме потенциальной энергии в положении устойчивого равновесия, функция определяющая положение мембраны, должна давать наименьшее значение интегралу

по сравнению со всеми другими непрерывно дифференцируемыми функциями удовлетворяющими тому же условию закрепления что и функция и. При некоторых ограничениях на и границу доказывается, что такой минимум существует и реализуется для гармонической функции, так что искомая функция и есть решение задачи Дирихле: Верно и обратное: решение задачи Дирихле дает минимум интегралу по сравнению со всеми удовлетворяющими условию закрепления.

Доказательство существования функции и, реализующей минимум и ее вычисление с любой степенью точности можно вести, например, следующим образом (метод Ритца). Возьмем бесконечный набор дважды непрерывно дифференцируемых функций равных нулю на контуре при и раввых при . Рассмотрим на функциях вида

где закреплено, а — произвольные числа. Тогда будет полиномом второй степени от независимых переменных Определим из условия, чтобы полином принимал наименьшее значение. Это приводит к системе линейных алгебраических уравнений с неизвестными, определитель которой отличен от нуля. Таким образом, числа определяются однозначно. Обозначим соответствующее им через . Оказывается, что если система удовлетворяет некоторому условию «полноты», то функции при сходятся к некоторой функции, которая и будет искомым решением задачи.

В заключение заметим, что в зтой главе дано описание лишь простейших линейных задач механики и оставлены в стороне многие еще далеко не до конца разработанные вопросы, связанные с более общими уравнениями в частных производных.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)