Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Поведение интегральных кривых в целом.Иногда бывает важно построить схему поведения интегральных линий во всей области задания системы дифференциальных уравнений «в целом», не заботясь при этом о сохранении масштаба. Будем рассматривать пространство, в котором эта система определит поле направлений, как фазовое пространство для некоторого физического процесса. Тогда построение схемы интегральных кривых соответствующей системы дифференциальных уравнений даст нам представление о характере всех процессов (движений), которые могут происходить в этой системе. На рис. 10—13 мы строили подобные схемы для поведения интегральных линий в окрестности изолированной особой точки. Одной из самых фундаментальных задач теории дифференциальных уравнений является задача найти по возможности более простой способ построения схемы поведения семейства интегральных линий заданной системы дифференциальных уравнений во всей области ее определения — изучение поведения интегральных кривых этой системы дифференциальных уравнений «в целом». Эта задача почти совсем не изучена для пространства, число измерений которого больше двух. Она еще очень далека от своего разрешения и для одного уравнения вида
даже в том случае, когда В дальнейшем мы будем предполагать, что функции Если все точки односвязной области Очень характерными для схемы поведения всех интегральных линий уравнения (64) являются также так называемые предельные циклы. Рассмотрим уравнение
где Совокупность всех интегральных линий уравнения (65) дается формулой
где С — произвольная постоянная, различная для различных интегральных линий. Чтобы о было неотрицательным, надо, чтобы 1) из окружности 2) из спиралей, выходящих из начала координат, которые изнутри приближаются к этой окружности при 3) из спиралей, которые приближаются извне к окружности
Рис. 14. Окружность Из уравнения (65) видно, что все точки окружности являются для него обыкновенными. Значит, малый кусок предельного цикла ничем не отличается от куска всякой другой интегральной линии. Каждой замкнутой интегральной линии на фазовой плоскости
описывающей закон изменения некоторой физической системы. Те интегральные линии на фазовой плоскости, которые при Пусть для любой достаточно близкой к предельному циклу I точки системы (67), соответствующая интегральная линия, описываемая точкой Задача хотя бы приближенного нахождения предельных циклов заданного дифференциального уравнения до сих пор не имеет удовлетворительного решения. Наиболее распространенным методом для решения этой задачи является предложенный Пуанкаре метод построения циклов без прикосновения». Он основан на следующей теореме. Допустим, что на плоскости 1) Линия 2) В кольце
4) Для всех точек Тогда между Пуанкаре называет линии Доказательство этой теоремы основано на следующем, довольно очевидном, факте. Допустим, что при возрастании t (или при убывании
уравнения (64) (или, что все равно, уравнений (67), где t — параметр), пересекающие Само разыскание циклов без прикосновения представляет довольно сложную задачу. Никаких общих методов для этого не известно. Для отдельных частных примеров удается найти циклы без прикосновения и тем доказать существование предельных циклов. В радиотехнике имеет большое значение разыскание предельных циклов (автоколебательных процессов) для уравнения (16) лампового генератора. Для уравнения типа (16) около 20 лет тому назад Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов предложили метод приближенного вычисления предельного цикла, который имеется у этого уравнения. Примерно в то же время советские физики Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси и А. А. Андронов доказали возможность применения для этой цели так называемого метода малого параметра, которым прежде хотя и пользовались на практике, но строгого обоснования законности применения этого метода не было. Для анализа уравнений автоколебательных систем А. А. Андронов впервые стал систематически применять методы, развитые прежде в теории дифференциальных уравнений А.. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре. Таким образом, он получил целый ряд важных результатов. Как уже было сказано, в физике играют важную роль «грубые» системы (см. § 3). А. А. Андронов вместе с Л. С. Понтрягиным составил каталог кусков, из которых может состоять вся картина поведения интегральных линий на плоскости (х, у) для грубого дифференциального уравнения вида (64). Давно было известно, например, что центр около особой точки легко разрушается при малых изменениях уравнений (64). Поэтому в состав картины поведения интегральных линий уравнений (64) не может входить центр, т. е. семейство замкнутых интегральных линий, окружающих особую точку, если уравнение грубое. Вопрос о поведении интегральных кривых в целом остается еще далеким от своего окончательного решения. Заметим, что аналогичный, вероятно, более простой вопрос о том, какой вид на плоскости могут иметь действительные алгебраические кривые, т. е. кривые, определенные уравнением
где Решения системы (64) определяют движения на плоскости. Если мы каждой точке кое развитие в работах советских математиков В. В. Степанова, A. Я. Хинчина, Н. Н. Боголюбова, Н. М. Крылова, А. А. Маркова, B. В. Немыцкого и других, а также в работах Г. Биркгофа и других зарубежных ученых. В настоящей главе мы дали краткий очерк современного состояния теории обыкновенных дифференциальных уравнений и постарались описать задачи, которые в этой теории рассматриваются. Наше изложение ни в какой мере не может претендовать на полноту. Мы были вынуждены отказаться от рассмотрения многих отделов теории уравнений, которые посвящены или изучению более специальных проблем, или требуют наличия более широких математических знаний, чем те, которые мы предполагали имеющимися у читателя книги. Например, мы совсем не затрагивали обширного и важного отдела, в котором рассматриваются вопросы теории дифференциальных уравнений с комплексным аргументом. Мы не имели возможности остановиться на так называемых краевых задачах, в частности на теории собственных функций, имеющей большое значение в приложениях. Весьма мало внимания мы могли уделить методам приближенного численного и аналитического решения дифференциальных уравнений и т. д. Для ознакомления со всеми такими вопросами мы вынуждены рекомендовать читателю обратиться к специальным книгам. ЛИТЕРАТУРА(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|