Поведение интегральных кривых в целом.

Иногда бывает важно построить схему поведения интегральных линий во всей области задания системы дифференциальных уравнений «в целом», не заботясь при этом о сохранении масштаба. Будем рассматривать пространство, в котором эта система определит поле направлений, как фазовое пространство для некоторого физического процесса. Тогда построение схемы интегральных кривых соответствующей системы дифференциальных уравнений даст нам представление о характере всех процессов (движений), которые могут происходить в этой системе. На рис. 10—13 мы строили подобные схемы для поведения интегральных линий в окрестности изолированной особой точки.

Одной из самых фундаментальных задач теории дифференциальных уравнений является задача найти по возможности более простой способ построения схемы поведения семейства интегральных линий заданной системы дифференциальных уравнений во всей области ее определения — изучение поведения интегральных кривых этой системы дифференциальных уравнений «в целом». Эта задача почти совсем не изучена для пространства, число измерений которого больше двух. Она еще очень далека от своего разрешения и для одного уравнения вида

даже в том случае, когда являются многочленами.

В дальнейшем мы будем предполагать, что функции имеют непрерывные частные производные 1-го порядка.

Если все точки односвязной области где задана правая часть дифференциального уравнения (64), обыкновенные, то семейство интегральных линий можно схематически изобразить семейством отрезков параллельных прямых, так как в этом случае через каждую точку области проходит одна интегральная линия и никакие две интегральные линии не пересекаются. Для уравнения же (64) более общего вида, которое может иметь особые точки, структура интегральных линий может быть гораздо сложнее. Случай, когда уравнение (64) имеет бесконечное множество особых точек (т. е. таких точек, где числитель и знаменатель одновременно обращаются в 0), по крайней мере, когда — многочлены, можно считать исключительным. Поэтому мы ограничимся рассмотрением только тех случаев, когда уравнение (64) имеет конечное число изолированных особых точек. Поведение интегральных линий около каждой из этих особых точек весьма существенно для составления схемы поведения всех интегральных линий этого уравнения.

Очень характерными для схемы поведения всех интегральных линий уравнения (64) являются также так называемые предельные циклы.

Рассмотрим уравнение

где — полярные координаты на плоскости

Совокупность всех интегральных линий уравнения (65) дается формулой

где С — произвольная постоянная, различная для различных интегральных линий. Чтобы о было неотрицательным, надо, чтобы принимало значение не больше, чем — если Семейство интегральных линий будет состоять:

1) из окружности

2) из спиралей, выходящих из начала координат, которые изнутри приближаются к этой окружности при ;

3) из спиралей, которые приближаются извне к окружности когда (рис. 14).

Рис. 14.

Окружность называется предельным циклом для уравнения (65). Вообще замкнутая интегральная линия I называется предельным циклом, если ее можно заключить в такое кольцо все точки которрго — обыкновенные для уравнения (64) и которое целиком заполнено незамкнутыми интегральными линиями.

Из уравнения (65) видно, что все точки окружности являются для него обыкновенными. Значит, малый кусок предельного цикла ничем не отличается от куска всякой другой интегральной линии.

Каждой замкнутой интегральной линии на фазовой плоскости отвечает периодическое решение системы

описывающей закон изменения некоторой физической системы. Те интегральные линии на фазовой плоскости, которые при приближаются к предельному циклу, отвечают движениям, приближающимся при к периодическим.

Пусть для любой достаточно близкой к предельному циклу I точки взятой в качестве начальной точки при для решения

системы (67), соответствующая интегральная линия, описываемая точкой при приближается к предельному циклу I на плоскости (х, у). (Это значит, что описываемые движения приближаются к периодическим). В этом случае соответствующий предельный цикл называется устойчивым. Колебания, которым отвечают такие предельные циклы, соответствуют в физике автоколебаниям. В некоторых автоколебательных системах может существовать несколько стационарных колебательных процессов с различными амплитудами. Тот или другой из них устанавливается в зависимости от начальных условий. На фазовой плоскости таким автоколебательным системам соответствует несколько предельных циклов, если процессы, происходящие в этих системах, описываются уравнениями вида (67).

Задача хотя бы приближенного нахождения предельных циклов заданного дифференциального уравнения до сих пор не имеет удовлетворительного решения. Наиболее распространенным методом для решения этой задачи является предложенный Пуанкаре метод построения циклов без прикосновения». Он основан на следующей теореме. Допустим, что на плоскости удалось найти такие две замкнутые линии (цикла), которые обладают следующими свойствами:

1) Линия вложена в область, ограниченную

2) В кольце заключенном между нет ни одной особой точки уравнения (64).

всюду имеют касательные, причем направления этих касательных нигде не совпадают с направлением поля направлений для заданного уравнения (64).

4) Для всех точек косинус угла между внутренней нормалью к границе области и вектором с компонентами имеет один и тот же знак.

Тогда между имеется по крайней мере один предельный цикл уравнения (64).

Пуанкаре называет линии циклами без прикосновения.

Доказательство этой теоремы основано на следующем, довольно очевидном, факте. Допустим, что при возрастании t (или при убывании все интегральные линии

уравнения (64) (или, что все равно, уравнений (67), где t — параметр), пересекающие или входят в кольцо между Тогда они обязательно должны навиваться на какую-то замкнутую линию I, лежащую между так как никакая из интегральных линий, попавших в это кольцо, не может выйти из него и в кольце нет особых точек.

Само разыскание циклов без прикосновения представляет довольно сложную задачу. Никаких общих методов для этого не известно. Для

отдельных частных примеров удается найти циклы без прикосновения и тем доказать существование предельных циклов.

В радиотехнике имеет большое значение разыскание предельных циклов (автоколебательных процессов) для уравнения (16) лампового генератора. Для уравнения типа (16) около 20 лет тому назад Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов предложили метод приближенного вычисления предельного цикла, который имеется у этого уравнения. Примерно в то же время советские физики Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси и А. А. Андронов доказали возможность применения для этой цели так называемого метода малого параметра, которым прежде хотя и пользовались на практике, но строгого обоснования законности применения этого метода не было. Для анализа уравнений автоколебательных систем А. А. Андронов впервые стал систематически применять методы, развитые прежде в теории дифференциальных уравнений А.. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре. Таким образом, он получил целый ряд важных результатов.

Как уже было сказано, в физике играют важную роль «грубые» системы (см. § 3). А. А. Андронов вместе с Л. С. Понтрягиным составил каталог кусков, из которых может состоять вся картина поведения интегральных линий на плоскости (х, у) для грубого дифференциального уравнения вида (64). Давно было известно, например, что центр около особой точки легко разрушается при малых изменениях уравнений (64). Поэтому в состав картины поведения интегральных линий уравнений (64) не может входить центр, т. е. семейство замкнутых интегральных линий, окружающих особую точку, если уравнение грубое.

Вопрос о поведении интегральных кривых в целом остается еще далеким от своего окончательного решения. Заметим, что аналогичный, вероятно, более простой вопрос о том, какой вид на плоскости могут иметь действительные алгебраические кривые, т. е. кривые, определенные уравнением

где — многочлен степени, также далек от своего полного решения. Полностью известно, какой вид могут иметь эти кривые только при а 6.

Решения системы (64) определяют движения на плоскости. Если мы каждой точке на плоскости поставим в соответствие точку , где — решение системы (64) с начальными условиями при то получим преобразование точек плоскости, зависящее от параметра Аналогичные преобразования, зависящие от параметра, и движения, которые они порождают, можно рассматривать на сфере, торе и других многообразиях. Свойства этих движений изучаются в теории динамических систем. В окрестности каждой точки эти движения также будут являться решениями некоторой системы дифференциальных уравнений. В последние десятилетия теория динамических систем получила широкое

кое развитие в работах советских математиков В. В. Степанова, A. Я. Хинчина, Н. Н. Боголюбова, Н. М. Крылова, А. А. Маркова, B. В. Немыцкого и других, а также в работах Г. Биркгофа и других зарубежных ученых.

В настоящей главе мы дали краткий очерк современного состояния теории обыкновенных дифференциальных уравнений и постарались описать задачи, которые в этой теории рассматриваются. Наше изложение ни в какой мере не может претендовать на полноту. Мы были вынуждены отказаться от рассмотрения многих отделов теории уравнений, которые посвящены или изучению более специальных проблем, или требуют наличия более широких математических знаний, чем те, которые мы предполагали имеющимися у читателя книги. Например, мы совсем не затрагивали обширного и важного отдела, в котором рассматриваются вопросы теории дифференциальных уравнений с комплексным аргументом. Мы не имели возможности остановиться на так называемых краевых задачах, в частности на теории собственных функций, имеющей большое значение в приложениях.

Весьма мало внимания мы могли уделить методам приближенного численного и аналитического решения дифференциальных уравнений и т. д. Для ознакомления со всеми такими вопросами мы вынуждены рекомендовать читателю обратиться к специальным книгам.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)