§ 5. НОВЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

Семейства кривых и поверхностей.

Хотя основы теории кривых и поверхностей были в большой мере завершены еще в середине прошлого столетия, теория эта продолжала и продолжает развиваться. Вместе с тем к ней постепенно присоединился ряд новых направлений: расширился круг фигур и их свойств, исследуемых в современной дифференциальной геометрии. Впрочем, одно из этих направлений уходит своими истоками еще ко времени зарождения дифференциальной геометрии. Речь идет о теории «семейств», т. е. непрерывных совокупностей кривых и поверхностей. Эту теорию можно, однако, считать новой в том смысле, что ее глубокое развитие началось только тогда, когда основы теории кривых и поверхностей были уже вполне разработаны.

Вообще непрерывная совокупность фигур называется -параметрическим семейством, если каждая фигура этой совокупности задается значениями параметров, причем предполагается, что все величины, характеризующие фигуру (в отношении ее положения, формы и пр.), зависят от этих параметров по крайней мере непрерывно. С точки зрения этого общего определения кривую можно рассматривать как однопараметрическое, а поверхность — как двупараметрическое семейство точек. Совокупность всех окружностей на плоскости дает пример трехпараметрического семейства кривых, так как круг на плоскости задается тремя параметрами: двумя координатами центра и радиусом.

Простейший вопрос теории семейств кривых или поверхностей представляет нахождение так называемой огибающей семейства. Поверхность

называется огибающей данного семейства поверхностей, если она в каждой своей точке касается одной из поверхностей семейства и таким образом касается каждой из них. Например, огибающей семейства сфер равных радиусов, с центрами на данной прямой, будет цилиндр (рис. 48), а огибающая семейства таких же сфер с центрами во всех точках данной плоскости будет состоять из двух параллельных плоскостей. Аналогично определяется огибающая семейства кривых. На рис. 49 изображены струи воды, бьющие из фонтана под разными углами; в одной плоскости они образуют семейство кривых, которые можно приближенно считать параболами. На фотографии ясно обозначается их огибающая, которая служит как бы общим контуром водяного каскада. Конечно, не всякое семейство кривых или поверхностей имеет огибающую (например, семейство параллельных прямых не имеет ее).

Рис. 48.

Существует простой общий метод нахождения огибающих любого семейства; для случая семейства кривых на плоскости он был дан еще Лейбницем.

Всякая кривая есть, очевидно, огибающая своих касательных. Точно так же всякая поверхность есть огибающая своих касательных плоскостей. (Кстати, это дает основание для нового способа задания кривой или поверхности путем задания семейства ее касательных прямых или касательных плоскостей. В ряде вопросов такое задание кривой или поверхности оказывается целесообразным.)

Вообще говоря, в разных точках поверхности касательные плоскости различны, и потому семейство касательных плоскостей поверхности обычно будет двупараметрическим. Однако в некоторых случаях, как, например, у цилиндра, оно однопараметрическое. Оказывается, имеет место следующая замечательная теорема. Однопараметрическое семейство касательных плоскостей имеют те и только те поверхности, которые разворачиваются на плоскость, т. е. такие, у которых любой достаточно малый кусок может быть изогнут в кусок плоскости. Это — развертывающиеся поверхности, о которых упоминалось в § 4. Каждая аналитическая поверхность такого рода состоит из отрезков прямых линий и есть либо цилиндрическая (прямые параллельны), либо коническая (прямые сходятся в одной точке), либо образуется касательными к некоторой пространственной кривой.

Теория огибающих часто используется в инженерных задачах, например в теории передач. Рассмотрим два зубчатых колеса А и Б. Относительное их движение можно представить себе, предполагая, что колесо А неподвижно, а колесо В катится по нему (рис. 50). Тогда контур зуба колеса В, принимая разные положения, образует в плоскости колеса А семейство кривых, а контур колеса А должен все время их касаться,

т. е. служить огибающей этого семейства. Конечно, для передач этого недостаточно, зацепление должно еще переходить от одной пары зубьев к другой, но все-таки отмеченное условие является основным, которому должны удовлетворять допустимые формы зубчатых колес.

Рис. 49 а

Рис. 49 б.

Как мы сказали, вопрос, об огибающих является только простейшим и давно решенным вопросом теории семейств кривых и поверхностей. По возможным задачам эта теория не менее обширна, чем, скажем, просто теория поверхностей. Особенно усиленно разрабатывается теория «конгруэнций», т. е. двупараметрических семейств разных линий, в частности прямых (так называемые «прямолинейные» конгруэнции). В этой теории применяются по существу те же методы, что и в теории поверхностей.

Начала теории прямолинейных конгруэнций восходят еще к работе Монжа «О выемках и насыпях», само название которой указывает, что исследование Монжа возникло в связи с задачами практики; речь шла о наиболее выгодной транспортировке земли из выемки на насыпь.

Систематическое развитие теории конгруэнций, начавшееся в середине прошлого столетия, в большой степени обязано ее связи с геометрической оптикой; совокупность световых лучей в однородной среде всякий раз представляет собой конгруэнцию прямых.