Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2

Научная библиотека

Научная библиотека

Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2

Математика, ее содержание, методы и значение. Под ред. Александрова А.Д., Колмогорова А.Н., Лаврентьева М.А. М.: Изд. Академии наук СССР, 1956; т.2 - 397 с.

Возникшая еще в древности из практических потребностей, математика выросла в громадную систему разветвленных дисциплин. Как и другие науки, она отражает законы материальной действительности и служит могучим орудием познания и покорения природы. Но свойственный математике высокий уровень абстракции делает новые ее разделы сравнительно мало доступными для неспециалиста. Тот же отвлеченный характер математики порождал еще в древности идеалистические представления о ее независимости от материальной действительности.

Коллектив авторов при составления этой книги исходил из намерения ознакомить достаточно широкие круги советской интеллигенции с содержанием и методами отдельных математических дисциплин, их материальными основами и путями развития.

Оглавление

Глава V. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задачи теории дифференциальных уравнений.
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
§ 3. НЕСКОЛЬКО ОБЩИХ ЗАМЕЧАНИЙ О РЕШЕНИИ И СОСТАВЛЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ
§ 5. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Метод ломаных линий Эйлера.
Метод последовательных приближений.
Связь между дифференциальными уравнениями разных порядков и системой большего числа уравнений 1-го порядка.
Уравнения, не содержащие независимой неременной явно.
§ 6. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
§ 7. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Поведение интегральных кривых в целом.
Глава VI. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Уравнения движения.
Основные виды уравнений математической физики.
§ 3. НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ
Краевая задача для уравнения теплопроводности.
Энергия колебаний и краевая задача для уравнения колебаний.
§ 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН
§ 5. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ
Метод разделения переменных.
Метод потенциалов.
Приближенное построение решений. Метод Галеркина и метод сеток.
§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
Глава VII. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. ПОНЯТИЕ О ПРЕДМЕТЕ И МЕТОДЕ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 2. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Длина.
Касательная.
Кривизна.
Соприкасающаяся плоскость.
Кручение.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Касательная плоскость.
Кривизна линий на поверхности.
Средняя кривизна.
Гауссова кривизна.
§ 4. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Основные понятия внутренней геометрии.
Геодезические линии.
Изгибание поверхностей.
Связь внутренней геометрии поверхности с ее пространственной формой.
Аналитический аппарат теории поверхностей.
§ 5. НОВЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
Нерегулярные поверхности и геометрия «в целом».
Дифференциальная геометрия разных групп преобразований.
Глава VIII. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Экстремумы функционалов и вариационное исчисление.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Функционалы, зависящие от нескольких функций.
Задача о минимуме кратного интеграла.
§ 3. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Глава IX. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Область сходимости степенного ряда.
Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного.
Общее понятие функции комплексного переменного и дифференцируемость функций.
Функция Ln z.
§ 2. СВЯЗЬ ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ЗАДАЧАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Примеры плоскопараллельвых течений жидкости.
Основные идеи теории крыла самолета. Теорема Жуковского.
Приложения к другим задачам математической физики.
§ 3. СВЯЗЬ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО С ГЕОМЕТРИЕЙ
Конформные отображения.
Квазиконформные отображения.
§ 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Интеграл Коши.
Разложимость дифференцируемых функций в степенной ряд.
Целые функции.
Дробные или мероморфные функции.
Об аналитическом представлении функций.
§ 5. СВОЙСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
Аналитическое продолжение и полные аналитические функции.
Поверхности Римана для многозначных функций.
§ 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Глава X. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
§ 1. ЧТО И КАК ИЗУЧАЕТ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Методы теории чисел.
§ 2. КАК ИССЛЕДОВАЛИ ВОПРОСЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПРОСТЫМ ЧИСЛАМ
Решето Эратосфена.
Тождество Эйлера.
Исследования П. Л. Чебышева о распределении простых чисел в натуральном ряде.
Работы Виноградова и его учеников по теории простых чисел.
§ 3. О МЕТОДЕ ЧЕБЫШЕВА
Оценка количества простых чисел в определенном интервале.
§ 4. О МЕТОДЕ ВИНОГРАДОВА
§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ НА СУММУ ДВУХ КВАДРАТОВ. ЦЕЛЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Глава XI. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
§ 2. АКСИОМЫ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 3. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 5. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 6. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ МАРКОВСКОГО ТИПА
Глава XII. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
§ 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Общее решение задачи.
Отклонение интерполяционного многочлена от порождающей функции.
§ 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
§ 4. ИДЕЯ ЧЕБЫШЕВА О НАИЛУЧШЕМ РАВНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Случай приближения функций многочленами.
§ 5. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЕСЯ ОТ НУЛЯ
§ 6. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА. НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПРИРОДА
Связь между порядком наилучшего равномерного приближения функции и ее дифференциальными свойствами.
§ 7. РЯДЫ ФУРЬЕ
Разложение функций в тригонометрический ряд.
Коэффициенты Фурье.
Сходимость частичных сумм Фурье к порождающей функции.
§ 8. ПРИБЛИЖЕНИЕ В СМЫСЛЕ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО
Глава XIII. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
§ 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Сходимость приближенного метода и оценка погрешности.
Выбор вычислительного метода.
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ
Счетно-аналитические машины и релейные машины.
Математические машины непрерывного действия.
Глава XIV. ЭЛЕКТРОННЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ
§ 1. НАЗНАЧЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ ЭЛЕКТРОННЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
Применения электронных вычислительных машин для решения логических задач.
Основные принципы работы электронной вычислительной машины.
§ 2. ПРОГРАММИРОВАНИЕ И КОДИРОВАНИЕ В БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИХ ЭЛЕКТРОННЫХ МАШИНАХ
Кодирование чисел и команд.
§ 3. ТЕХНИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ УСТРОЙСТВ БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИХ СЧЕТНЫХ МАШИН
Арифметические устройства и устройства управления.
Запоминающие устройства.
§ 4. ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СЧЕТНЫХ МАШИН