Соприкасающаяся плоскость.

Хотя пространственная кривая и не лежит в одной плоскости, но с каждой ее точкой А, как правило, можно связать плоскость Р, от которой вблизи этой точки кривая отклоняется меньше, чем от любой другой плоскости. Такая плоскость называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке.

Естественно, что соприкасающаяся плоскость, как плоскость, возможно более плотно прилегающая к кривой, проходит через точку А и касательную Т к данной кривой. Но через точку А и прямую Т, содержащую А, проходит много плоскостей. Чтобы выделить из них плоскость, от которой кривая отклоняется менее всего, попробуем проследить за отклонением кривой от касательной. Для этого посмотрим на кривую вдоль касательной Т, иначе говоря, спроектируем нашу кривую на так называемую нормальную плоскость проведенную через

точку А перпендикулярно к Т (рис. 14). Проекция содержащего А участка нашей кривой образует на плоскости некоторую новую кривую (на рис. 14 эта кривая отмечена пунктиром). Обычно она имеет острие в точке А. Если полученная кривая в точке А имеет касательную то естественно, что плоскость Р, проходящая через Т и и будет наиболее плотно прилегать вблизи А к исходной кривой, т. е. будет соприкасающейся плоскостью в точке А. Можно доказать, что в случае, когда функции, задающие кривую, имеют вторые производные и кривизна кривой в точке А отлична от нуля, соприкасающаяся плоскость заведомо существует, и ее уравнение весьма просто выражается через первые и вторые производные от функций, задающих кривую.

Рис. 14.

Если свойства касательной позволяют рассматривать кривую на малом участке как прямую и совершать при этом ошибку, малую по сравнению с длиной участка, то свойства соприкасающейся плоскости дают возможность пространственную кривую рассматривать на малых участках как плоскую, заменяя ее проекцией на соприкасающуюся плоскость, причем здесь ошибки будут малы даже по сравнению с квадратом длины участка дуги.

Прямых, перпендикулярных к касательной, в пространстве много; они заполняют нормальную плоскость в данной точке кривой. Среди этих прямых выделяется одна лежащая в соприкасающейся плоскости прямая Эта прямая называется главной нормалью к кривой. Обычно на ней еще фиксируют направление в сторону вогнутости проекции кривой на соприкасающуюся плоскость. Главная нормаль играет для пространственной кривой такую же роль, как обычная единственная нормаль для плоской кривой. (В частности, если некоторая опора заставляет гибкую нить, имеющую натяжение Т, сохранять форму пространственной кривой, то давление нити на опору в каждой точке равно и направлено по главной нормали. Если по кривой в пространстве движется с постоянной по величине скоростью материальная точка, то ее ускорение равно и направлено по главной нормали.)