Разложение функций в тригонометрический ряд.

В связи со сказанным возникает важный принципиальный вопрос: какие функции

периода — возможно представить как суммы тригонометрических рядов вида (21). Вопрос этот был поставлен еще в XVIII в. Л. Эйлером и Д. Бернулли в связи с исследованиями Д. Бернулли, относящимися к колеблющейся струне. При этом Д. Бернулли стоял на точке зрения, подсказанной ему физическими соображениями, в силу которой надо считать, что для весьма обширного класса непрерывных функций, содержащего в себе, в частности, нарисованные от руки графики, возможно разложение их в виде тригонометрических рядов. Эта точка зрения встретила резкие возражения со стороны многих математиков — современников Д. Бернулли. Они цепко держались за существовавшие тогда представления о функции, в силу которых функция, если она представляется аналитическим выражением (каким является тригонометрический ряд), должна обладать хорошими дифференциальными свойствами. Но функция, изображенная на рис. 12, в точке не имеет даже производной; может ли в таком случае ей соответствовать определяющее ее на всем отрезке одно и то же аналитическое выражение?

Рис. 13.

Теперь мы знаем, что именно физическая точка зрения Д. Бернулли была правильной. Но для того чтобы она окончательно восторжествовала, потребовалось еще целое столетие, так как для полного разрешения этих вопросов надо было прежде всего уточнить основные понятия математического анализа, такие, как предел и связанное с ним понятие суммы ряда.

Фундаментальные математические исследования, подтвердившие физическую точку зрения, базирующиеся, впрочем, еще на старом понимании основных понятий анализа, были выполнены в 1807-1822 гг. французским математиком Фурье.

Наконец, в 1829 г. немецкий математик Дирихле доказал со всей строгостью, которая предъявляется в современной математике, что всякая непрерывная функция периода — имеющая на периоде конечное число максимумов и минимумов, единственным образом разлагается в сходящийся к ней и притом равномерно тригонометрический ряд Фурье.

На рис. 13 изображена функция, подчиняющаяся условиям Дирихле. Это непрерывный график периодически, с периодом повторяющийся

и имеющий на периоде одну точку максимума и одну точку минимума.