Коэффициенты Фурье.

В дальнейшем мы будем рассматривать функции периода что даст некоторые небольшие технические упрощения. Рассмотрим какую-либо непрерывную функцию периода удовлетворяющую условию Дирихле. На основании теоремы Дирихле ее можно разложить в сходящийся к ней равномерно тригонометрический ряд

То обстоятельство, что мы обозначили начальный член ряда через а не через не имеет принципиального значения, но зато вносит, как мы увидим, чисто технические удобства.

Поставим задачу: вычислить коэффициенты ряда по заданной функции Для этого заметим, что имеют место следующие равенства:

которые мы предлагаем проверить самому читателю. (Эти интегралы легко вычислить, сводя произведения различных тригонометрических функций к их суммам и разностям, а квадраты их к выражениям, составленным из соответствующих тригонометрических функций от двойного угла.) Приведенные равенства выражают, что взятый по периоду интеграл от произведения двух любых различных функций из последовательности равен нулю (это так называемое свойство ортогональности тригонометрических функций).

С другой стороны, интеграл от квадрата каждой из функций этой последовательности равен Исключение составляет первая функция — тождественная единица. Интеграл от ее квадрата по периоду равен Это обстоятельство и приводит к целесообразности представления начального числа ряда (22) в виде

Теперь мы можем легко решить нашу задачу. Чтобы вычислить коэффициент помножим левую часть и каждый член правой части нашего ряда (22) на и проинтегрируем почленно левую и правую части по периоду что законно, так как полученный после умножения на ряд равномерно сходится. На основании равенств (23) все интегралы в правой части, за исключением интеграла, соответствующего будут равны нулю, поэтому очевидно

откуда

Аналогично, умножая левую и правую части (22) на и интегрируя по периоду, получим выражения для коэффициентов

и мы нашу задачу решили. Числа вычисленные по формулам (24) и (25), называются коэффициентами Фурье функции

Для примера возьмем функцию периода изображенную на рис. 13. Очевидно эта функция непрерывна и удовлетворяет условию Дирихле, поэтому ее ряд Фурье равномерно сходится к ней.

Легко видеть также, что эта функция удовлетворяет условию Этому же условию, очевидно, удовлетворяет и функция Оно выражает, что график симметричен относительно начала координат. Из геометрических соображений ясно, что откуда Далее нетрудно разобраться в том, что функция имеет график, симметричный относительно оси откуда

Но он, кроме того, при четном симметричен относительно середины отрезка оси поэтому при четных . При нечетных же график симметричен относительно прямой следовательно,

Но, как видно из чертежа, на участке просто поэтому, применяя метод интегрирования по частям, мы получим

и, следовательно,

Мы получили разложение нашей функции в ряд Фурье.