Основные виды уравнений математической физики.

Как мы уже говорили выше, различные уравнения в частных производных, описывающие физические явления, представляют собою обычно системы уравнений с несколькими неизвестными функциями. Однако в большом числе случаев удается заменить эту систему одним уравнением. Легко показать это на примере простейших задач.

Обратимся к уравнениям движения, рассмотренным в предыдущем пункте. Решать эти уравнения нужно совместно с уравнением неразрывности. О том, как это можно сделать, мы расскажем несколько позднее.

1. Начнем с уравнения для стационарного течения идеальной жидкости.

Всевозможные движения жидкости делят на движения вихревые и движения безвихревые или так называемые потенциальные. Хотя безвихревые движения представляют собою лишь частный случай движения, а вообще говоря, движение жидкости или газа всегда бывает в какой-то мере завихренным, тем не менее опыт показывает, что эти безвихревые движения во многих случаях осуществляются с большой точностью. Кроме того, из теоретических соображений можно показать, что в жидкости с вязкостью, равной нулю, при отсутствии вихря в начальный момент он не будет возникать и позднее.

Для потенциального движения жидкости существует такая скалярная функция называемая потенциалом скоростей, что вектор скорости выражается через нее по формулам

Во всех случаях, изученных нами до сих пор, мы имели дело с системами четырех уравнений с четырьмя неизвестными функциями или

говоря иначе, с одним скалярным и одним векторным уравнениями, содержащими одну скалярную неизвестную функцию и одно неизвестное, векторное поле. Обычно эти уравнения можно привести к одному уравнению с одной неизвестной функцией, но 2-го порядка. К этому мы сейчас и перейдем, начав с простейшего случая.

Для потенциального движения несжимаемой жидкости, в которой , мы имеем две системы уравнений: уравнение неразрывности.

и уравнения потенциального движения

Подставляя в первое уравнение значения скоростей, вычисленные из второго, будем иметь

2. Векторное поле «потока тепла» также может быть связано с одной скалярной величиной — температурой — при помощи дифференциальных соотношений. Известно, что тепло «течет» в направлении от нагретых частей тела к холодным. Поэтому вектор потока тепла следует считать направленным обратно вектору градиента температуры. Естественно также предположить, что величина этого вектора в первом приближении прямо пропорциональна так называемому градиенту температуры. Это предположение хорошо оправдывается на опыте.

Вектор градиента температуры имеет составляющие

Принимая коэффициент пропорциональности равным к, получим три уравнения

Их следует решать совместно с уравнением баланса тепловой энергии (3)

Подставляя вместо их значения, получим

3. Наконец, для малых колебаний газовой среды, например звуковых колебаний, из уравнения

и уравнений динамики (5)

в предположении отсутствия внешних сил иолучим уравнение

(для этого достаточно подставить выражение для ускорений в уравнение неразрывности и исключить из пего плотность при помощи закона Бойля—Мариотта:

Уравнения (7), (8) и (9) типичны для многих задач математической физики, а не только для рассмотренных выше. Их подробное изучение дает возможность разобраться в большом числе физических явлений.