Тождество Эйлера.

Его доказательство бесконечности простых чисел. Великий математик XVIII в. Л. Эйлер, член Российской Академии наук, ввел в рассмотрение следующую функцию от аргумента которую в настоящее время обозначают через

Как мы знаем из гл. II (том 1), данный ряд действительно сходится при (и расходится при ). Эйлер указал замечательное тождество, играющее очень важную роль в теории простых чисел:

где знак указывает, что берется произведение по всем простым числам выражений . Для того чтобы наметить ход доказательства этого тождества, заметим, что при следовательно: Перемножая при различных простых эти ряды и вспоминая, что каждое единственным образом разлагается на произведение простых, мы и находим, что

Для строгого доказательства необходимо, конечно, обосновать возможность произведенных нами предельных переходов, что не представляет, однако, существенных затруднений.

Из тождества (8) можно вывести как следствие, что ряд составленный из обратных величин всех простых чисел, расходится (это дает новое доказательство известного уже нам факта, что простых чисел не может существовать лишь конечное число), а также, что отношение числа простых, не превышающих х, к самому х стремится к нулю при неограниченном возрастании х.