§ 6. ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА. НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПРИРОДА

Теорема Вейерштрасса.

Если применить общее определение наилучшего приближения функции, данное в § 4, к случаю, когда она приближается алгебраическим многочленом степени то мы придем к следующему определению. Наилучшим равномерным приближением функции на отрезке при помощи многочленов степени называется (неотрицательное) число равное минимуму выражения

распространенному на всевозможные многочлены степени

Независимо от того, умеем мы или нет находить точное выражение многочлена, наилучшим образом приближающего данную функцию представляет большой практический и теоретический интерес возможно более точное знание величины . В самом деле, если нам требуется приблизить функцию многочленом с точностью до заданной величины иначе говоря, так, чтобы было

для всех из заданного отрезка, то нет никакого смысла подбирать его среди многочленов такой степени для которой так как при этом вообще не существует какого бы то ни было многочлена для которого имеет место (17). С другой стороны, если нам известно, что то имеет смысл при таком пытаться отыскать многочлен который приближал бы с точностью до й, так как такого рода многочлены заведомо существуют.

Свойства наилучших приближений функций различных классов подверглись весьма тщательному и глубокому изучению. Прежде всего отметим следующий важный факт.

Если функция непрерывна на отрезке то ее наилучшее приближение стремится к нулю при неограниченном возрастании

Это — теорема, доказанная Вейерштрассом в конце прошлого столетия. Она имеет большое значение, гак как утверждает принципиальную

возможность приблизить произвольную непрерывную функцию некоторым многочленом с любой наперед заданной точностью. Благодаря этому обстоятельству, множество всех многочленов любой степени в известной мере относится к множеству всех непрерывных функций, заданных на отрезке, так же как совокупность рациональных чисел относится к совокупности Н всех действительных (рациональных и иррациональных) чисел. В самом деле, каково бы ни было иррациональное число а и как бы ни было мало положительное число всегда можно подобрать такое рациональное число что выполняется неравенство . С другой стороны, если есть непрерывная на функция и произвольно малое положительное число, то из теоремы Вейерштрасса вытекает существование алгебраического многочлена такого, что для всех х из отрезка имеет место Ведь по этой теореме наилучшее приближение непрерывной функции стремится к нулю при

Можно дать следующую иллюстрацию теореме Вейерштрасса. Пусть задан график произвольной непрерывной функции (см. рис. 9), определенной на отрезке Зададим произвольное малое положительное число и окружим наш график полоской толщиной так, чтобы график проходил по середине полоски. Тогда всегда можно подобрать алгебраический многочлен

достаточно высокой степени, такой, что его график окажется находящимся полностью внутри взятой полоски.

Сделаем следующее замечание. Пусть попрежнему есть произвольная непрерывная на функция, а — многочлены ее наилучшего равномерного приближения. Нетрудно увидеть, что функцию можно представить в виде ряда равномерно сходящегося к ней на Это следует от того, что сумма первых членов ряда равна причем шах при со.

В результате мы пришли к новой формулировке теоремы Вейерштрасса:

Всякую непрерывную на отрезке функцию можно представить в виде равномерно сходящегося к ней ряда алгебраических многочленов.

Этот результат имеет большое принципиальное значение. Он утверждает возможность представления любой непрерывной функции, как угодно заданной (например, при помощи графика), в виде аналитического выражения. (Под аналитическим выражением понимается либо элементарная функция, либо функция, полученная из последовательности элементарных путем предельного перехода.) Исторически этот

результат окончательно разрушил представления об аналитическом выражении, существовавшие .в математике почти до середины прошлого столетия. Мы говорим «окончательно», так как теореме Вейерштрасса предшествовал ряд общих результатов подобного рода, относящихся преимущественно к рядам Фурье. До получения этих результатов считалось, что аналитические выражения определяют особо хорошие законо мерности, характерные для аналитических функций. Например, обычно само собой подразумевалось, что аналитические выражения бесконечно дифференцируемы и даже разлагаются в степенные ряды. Подобные представления оказались несостоятельными. Функция может вовсе не иметь производной на протяжении всего отрезка и все же быть представимой аналитическим выражением.

С методологической точки зрения значение этих открытий заключается в том, что они позволили со всей ясностью осознать, что принципиально математика имеет возможность своими методами изучать неизмеримо более обширный класс закономерностей, чем это думали ранее.

В настоящее время известно много различных доказательств теоремы Вейерштрасса. Большая часть их сводится к тому, что предлагается тот или иной процесс получения по заданной непрерывной функции последовательности многочленов, которые равномерно приближаются к при неограниченном возрастании их степени. Вот весьма просто устроенный многочлен:

который может служить для приближения непрерывных функций на отрезке [0, 1]. Он называется многочленом Бернштейна. При неограниченном возрастании этот многочлен равномерно сходится на отрезке [0, 1] к порождающей его непрерывной функции. Здесь С есть число сочетаний из элементов по к.

Отметим, что аналог теоремы Вейерштрасса имеет место в комплексной области. Исчерпывающие результаты в этом направлении принадлежат М. А. Лаврентьеву, М. В. Келдышу и С. Н. Мергеляну.