Дифференциальная геометрия разных групп преобразований.
С начала нашего столетия из классической дифференциальной геометрии вырос ряд новых направлений, объединенных одной общей идеей. Речь идет о том, чтобы специально изучать свойства кривых, поверхностей и их семейств, не меняющиеся при преобразованиях того или иного вида. Классическая дифференциальная геометрия изучала свойства, не меняющиеся при движениях, но можно, конечно, рассматривать и другие геометрические преобразования. Например, проективным преобразованием называется любое преобразование области пространства, при котором прямые остаются прямыми. Уже давно возникла так называемая проективная геометрия, изучающая свойства фигур, сохраняющихся при любых проективных преобразованиях. По своим задачам она оставалась аналогичной обычной элементарной и аналитической геометрии, пока с начала нашего века в работах ряда математиков не стала разрабатываться «проективная дифференциальная геометрия», т. е. теория кривых, поверхностей и их семейств, подобная классической дифференциальной геометрии,
но изучающая специально те свойства их, которые сохраняются при любых проективных преобразованиях. Основополагающими для последнего направления явились работы американского математика Вильчинского, а также итальянского математика Фубини и чешского математика Чеха.
Таким же образом возникла и «аффинная дифференциальная геометрия», изучающая свойства кривых, поверхностей и их семейств, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, т. е. при таких, которые не только переводят прямые в прямые, но и не нарушают параллельности прямых. Работами немецкого математика Бляшке и его учеников этот раздел геометрии развит в обширную теорию. Можно упомянуть еще «конформную геометрию», в которой изучают свойства фигур, сохраняющиеся при таких преобразованиях, которые не изменяют углов между любыми кривыми.
В общем, возможные «геометрии» весьма разнообразны, так как в основу каждой из них можно положить в известном смысле любую группу преобразований и изучать именно те свойства фигур, которые сохраняются при преобразованиях этой группы. О таком принципе определения разных «геометрий» мы еще будем говорить в главе XVII (том 3).
Новые направления дифференциальной геометрии успешно разрабатывались и разрабатываются также советскими геометрами (С. П. Фиников, Г. Ф. Лаптев и др.). Но в нашем очерке нет возможности дать понятие о всем разнообразии современных исследований, которые ведутся с успехом в различных направлениях дифференциальной геометрии.
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
