§ 5. СВОЙСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

Свойство единственности аналитических функций.

Одним из наиболее замечательных свойств аналитических функций является их свойство единственности.

Если в области заданы две аналитические функции, совпадающие на некоторой линии С, лежащей внутри области, то они совпадают всей области.

Доказательство этой теоремы весьма несложно. Пусть — две аналитические в области функции, совпадающие по линии С. Разность

будет аналитической функцией в области и обращается в нуль на линии С. Докажем, что в любой точке области . В самом деле, если в области существует точка (рис. 21), в которой то мы продолжим линию С до точки и будем идти по полученной линии Г к точке до тех пор, пока функция остается равной нулю на Г. Пусть — последняя получаемая таким образом точка Г. Если то и на некотором отрезке линии Г за точкой функция по определению точки , была бы не равна нулю. Покажем, что это невозможно. В самом деле, на части Г линии 1, лежащей до точки мы имеем Можно вычислить все производные функции на Г

пользуясь только значениями на поэтому на все производные равны нулю. В частности, в точке X,

Разложим функцию в ряд Тейлора в точке . Все коэффициенты разложения обратятся в нуль, поэтому мы получим

в некотором круге с центром в точке расположенном в области . В частности, отсюда следует, что равенство продолжает выполняться на некотором отрезке линии Г, лежащей за . Предположение привело нас к противоречию.

Рис. 21.

Доказанная теорема показывает, что если известны значения аналитической функции на некотором отрезке кривой или в некоторой части области, то это определяет единственным образом значения функции всюду в области задания. Таким образом, значения функции в различных частях плоскости аргумента тесно связаны между собой.

Чтобы дать себе отчет в значении свойства единственности аналитической функции, следует вспомнить, что общее определение функции комплексного переменного допускает любой закон соответствия между значениями аргумента и значениями функции. При таком определении, естественно, не может быть и речи о том, что значения функции в одном месте однозначно определяют ее значения в других частях плоскости. Мы видим, что единственное требование дифференцируемости функции комплексного переменного оказывается столь сильным, что определяет связь между значениями функции в различных местах.

Подчеркнем еще, что в области функций действительного переменного дифференцируемость функции не влечет за собой подобных следствий. В самом деле, можно построить примеры функций, дифференцируемых сколько угодно раз, совпадающих в некотором промежутке оси и не равных между собой в остальных точках. Так, например, функция, равная нулю при отрицательных значениях х, может быть определена так, что при положительных х она отлична от нуля и имеет непрерывные производные любого порядка. Достаточно для этого, например, положить при