Метод потенциалов.

Сущность этого метода состоит попрежнему в наложении частных решений для разыскания решения общего вида. На этот раз в качестве элементарных частных решений используются решения, обращающиеся в какой-либо точке пространства в бесконечность. Каким образом это делается, мы поясним на примере уравнений Лапласа и Пуассона.

Пусть — некоторая точка нашего пространства Обозначаем через расстояние от точки до некоторой другой переменной точки М. Функция

при фиксированном является функцией переменной точки М. Легко убедиться в том, что эта функция является гармонической функцией

точки М во всем пространстве, кроме, разумеется, самой точки где она обращается в бесконечность вместе со своими производными. Сумма нескольких функций такого вида

где точки какие-либо точки в пространстве, снова будет гармонической функцией точки М. Эта функция будет иметь особенности во всех точках Размещая точки как угодно плотно в некотором объеме с одновременным уменьшением коэффициентов мы можем перейти к пределу в этом выражении и получим новую функцию гщгщ

где точка М пробегает весь объем Интеграл рассматриваемого вида называется ньютоновым потенциалом. Можно доказать, хотя мы не будем этого делать, что, полученная функция удовлетворяет уравнению

Ньютонов потенциал имеет простой физический смысл. Для того чтобы понять этот смысл, мы начнем с исследования функции

Частные производные этой функции по координатам суть

Поместим в точку массу которая будет притягивать к себе все тела с силой, направленной к точке и обратно пропорциональной квадрату расстояния. Разложим эту силу на составляющие. Если вели чина самой силы, действующей на какую-либо материальную точку с массой, равной единице, есть то косинусы углов, составленных направлением этой силы с направлениями координатных осей, будут: Следовательно, составляющие той силы, с которой действует на единичную массу в точке М притягивающий центр будут как раз равны — частным производным от функции по координатам. Если мы поместим в нескольких точках притягивающие массы, то каждая материальная точка с массой, равной единице, помещенная в точке М, будет испытывать силу, равную

равнодействующей всех сил, которые действуют на нее со стороны отдельных точек . Иными словами,

Переходя к пределу и заменяя сумму интегралом, мы получим

Функцию частные производные от которой равны составляющим силы, действующей на некоторую точку, называют потенциалом этой силы. Поэтому функция представляет собою потенциал силы притяжения точки функция — потенциал тяготения группы точек а функция потенциал тяготения масс, непрерывно распределенных в объеме

Вместо того чтобы распределить массы в некотором объеме, мы можем поместить точки на некоторой поверхности Увеличивая опять число этих точек, получим в пределе интеграл

где — точка на поверхности

Нетрудно видеть, что эта функция будет гармонической всюду вне поверхности и всюду внутри нее. На самой поверхности эта функция, как можно доказать, непрерывна, но ее производные порядка претерпевают разрыв.

Функции также представляют собою гармонические функции точки М при фиксированном Из этих функций в свою очередь можно составить суммы

которые будут гармоническими функциями всюду, кроме, быть может, точек

Мы можем опять построить пределы таких сумм при увеличении числа точек Особое значение получает интеграл

в котором координаты переменной точки поверхности направление нормали поверхности в точке — направления координатных осей; расстояние от до точки М, в которой определяется значение функции W.

Интеграл (22) называется потенциалом простого слоя, а интеграл (23) — потенциалом двойного слоя. Потенциал двойного слоя, так же как и потенциал простого слоя, представляет собой гармоническую функцию вне и внутри поверхности

Много задач теории гармонических функций может быть решено при помощи потенциалов. При помощи потенциала двойного слоя можно решить задачу о построении в данной области гармонической функции и, принимающей заданные значения на границе этой области. Для того чтобы построить такую функцию, нужно только выбрать соответствующим образом функцию

Эта задача несколько напоминает по своей природе задачу о разыскании коэффициентов ряда

так, чтобы он представлял левую часть.

Замечательное свойство интеграла состоит в том, что его предельное значение при приближении точек М к точке с внутренней стороны поверхности имеет вид

Приравнивая это выражение заданной функции получим уравнение

Это уравнение называется интегральным уравнением второго рода. Существует развитая многими учеными теория таких уравнений. Решая это уравнение при помощи какого-либо метода, мы получим и решение интересующей нас задачи.

Таким же точно образом можно получить и решение других задач теории гармонических функций. Выбрав подходящим образом потенциал,

определяют плотность, т. е. величину произвольной функции, входящей в него, так, чтобы удовлетворить всем поставленным условиям.

С точки зрения физики это означает, что всякую гармоническую функцию можно представить как потенциал двойного электрического слоя, если распределить такой слой по поверхности с надлежащим образом подобранной плотностью.