§ 5. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЕВА, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЕСЯ ОТ НУЛЯ

Рассмотрим следующую задачу. Требуется найти многочлен степени наилучтим образом равномерно приближающий на отрезке функцию

Оказывается, искомый многочлен таков, что для него выполняется равенство

Чисто формально этот факт вытекает из теоремы Чебышева, если предварительно убедиться в том, что правая часть (16), во-первых,

есть алгебраический многочлен степени с коэффициентом при равным единице; во-вторых, ее абсолютная величина на рассматриваемом отрезке достигает максимума, равного точках и, в-третьих, сама она в этих точках последовательно меняет знак.

В том, что правая часть (16) есть многочлен степени с коэффициентом при равным единице, можно убедиться при помощи следующего рассуждения.

Допустим, что для данного натурального числа уже доказана справедливость равенств

где — алгебраические многочлены соответственно степеней Тогда подобные равенства имеют место и для как в этом легко убедиться из рассмотрения следующих формул:

Но наши равенства при справедливы, так как

В таком случае они справедливы и для любого

Правая часть (16) называется многочленом Чебышева степени наименее уклоняющимся от нуля, по имени П. Чебышева, впервые поставившего и решившего эту задачу. Вот первые из этих многочленов:

Мы уже имели случай убедиться в важной роли многочленов Чебышева в вопросах интерполяций и приближенных методов интегрирования. По поводу интерполяций здесь будет уместно сделать дальнейшие пояснения.

Из того, что разность между произвольной непрерывной функцией и наилучшим приближающим ее многочленом меняет знак в точках, следует в силу свойства непрерывной функции, что совпадает с в некоторых определенных точках отрезка есть интерполяционный многочлен степени для при некотором выборе узлов.

Таким образом, задача о наилучшем равномерном приближении непрерывной функции сводится к умению подобрать на отрезке систему узлов интерполяции, так чтобы соответствующий интерполяционный многочлен степени имел уклонение наименьшее среди возможных. К сожалению, практическое нахождение нужных узлов очень часто связано с большими трудностями. Обычно эту задачу приходится решать приближенно, и здесь выступает особая роль многочлена Чебышева. Оказывается, что если в качестве узлов интерполяции взять именно нули многочлена (т. е. точки, где он сам равен нулю), то соответствующий интерполяционный многочлен, по крайней мере при больших будет давать равномерное уклонение от функции (достаточно гладкой), мало отличающееся от соответствующего уклонения наилучшего равномерно приближающего функцию многочлена. Это несколько неопределенное выражение «мало отличающийся» в ряде важных характерных случаев может быть подкреплено весьма точными количественными оценками, на которых мы здесь не будем останавливаться.

Вернемся к многочлену Чебышева. Возьмем его в виде где М — некоторое положительное число. Очевидно, он всюду на отрезке по абсолютной величине не превышает числа М. Производная от него равна и, следовательно, она на отрезке удовлетворяет неравенству Оказывается, что полученное неравенство верно для всех многочленов степени не превышающих числа М по абсолютной величине на отрезке т. е. для производной всякого такого многочлена на отрезке выполняется неравенство

Неравенство это надо считать принадлежащим А. А. Маркову, так как оно прямо следует из его результатов, идущих даже

несколько дальше. Сам А. А. Марков получил их в связи с одним вопросом, заданным ему Д. И. Менделеевым.

В дальнейшем, в 1912 г., С. Н. Бернштейн получил носящий его имя аналог этого неравенства для тригонометрических полиномов и при помощи этих неравенств впервые обнаружил возможность установления дифференциальных свойств функции, если известен порядок убывания ее наилучших приближений. Результаты этого рода, касающиеся дифференцируемых функций, приведены в §§ 6 и 7.