Глава XI. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
Простейшие закономерности, устанавливаемые естествознанием, заключаются в указании условий, при которых какое-либо интересующее нас событие заведомо происходит или заведомо не происходит, т. е. эти условия могут быть выражены по одной из следующих двух схем:
1) если осуществляется комплекс (т. е. совокупность) условий
то с достоверностью происходит событие А;
2) если осуществляется комплекс условий
то событие А произойти не может.
В первом случае событие А по отношению к комплексу условий
называется «достоверным» или «необходимым» событием, а во втором — «невозможным» событием. Например, при атмосферном давлении и температуре
лежащей в пределах
(комплекс условий
вода с достоверностью находится в жидком состоянии (достоверное событие
а в газообразном или в твердом состоянии находиться не может (невозможные события
Событие А, которое при осуществлении комплекса условий
иногда происходит, а иногда не происходит, называется по отношению к этому комплексу условий случайным. Возникает вопрос: означает ли случайность события А отсутствие всякой закономерной связи между комплексом условий
и событием А? Пусть, например, установлено, что лампы определенного типа, производимые определенным заводом (условия
иногда горят более 2000 час. (событие А), а иногда до истечения этого срока перегорают и приходят в негодность. Могут ли тем не менее опыты с проверкой способности ламп гореть 2000 час. служить для характеристики качества продукции завода? Или следует ограничиться указанием того срока (скажем, 500 час.), в течение которого практически все лампы безотказно работают, и того срока, после которого практически все лампы перегорают (скажем, срока в 10 000 час.?) Ясно, что характеристика срока работы ламп только неравенствами
мало удовлетворит потребителя. Потребитель получит значительно более полную информацию, если ему будет сказано, что приблизительно в
случаев лампы служат не менее
2000 час. Еще более полная характеристика качества ламп будет содержаться в указании для любого Т процента
ламп, которые служат не менее Т часов, хотя бы в виде графика, изображенного на рис. 1.
Кривая
практически находится при помощи испытаний с пробной партией из достаточно большого числа (100—200) ламп. Естественно, что найденная таким образом кривая имеет действительную ценность лишь в том случае, если она правильно отражает реальную закономерность, действующую не только для данной пробной партии, но и вообще для ламп, производимых при заданном качестве материалов и при установленной на заводе технологии производства, т. е. если испытания, произведенные с другими пробными партиями, состоящими из ламп, изготовленных в тех же общих условиях, приводят к близким результатам (т. е. к кривым
мало отличающимся от кривой, полученной в результате испытаний первой пробной партии). Это значит, что статистическая закономерность, выражаемая кривыми
в пробных партиях, является лишь отражением
вероятностной закономерности, связывающей срок службы лампы с качеством материалов, из которых она изготовлена, и с технологией ее изготовления.
Рис. 1.
Эта вероятностная закономерность задается при помощи функции
где
есть вероятность того, что отдельная лампа (произведенная при заданных условиях) будет гореть не менее Т часов.
Утверждение о существовании у события А определенной вероятности
при условиях
заключается в том, что в различных достаточно длинных сериях испытаний (т. е. осуществлений комплекса условий
получаемые частоты появления события А
— число испытаний
серии,
— число тех испытаний этой серии, при которых произошло событие А) будут приблизительно одинаковы и близки к р.
Гипотеза о существовании такой константы
(объективно обусловленной характером связи между комплексом условий
и событием
), к которой частоты
оказываются, «вообще говоря», тем ближе,