Уравнения, не содержащие независимой неременной явно.

Задачи о маятнике, акустическом резонаторе Гельмгольца, простейшем электрическом контуре, ламповом генераторе, рассмотренные в § 1, приводят к дифференциальным уравнениям, в которые независимая переменная (время) не входит явно. Сейчас мы говорим об уравнениях такого вида потому, что изучение соответствующих им дифференциальных уравнений 2-го порядка можно свести к изучению дифференциальных уравнений 1-порядка, а не к системе уравнений, как это было

сделано в предыдущем пункте для общего уравнения 2-го порядка.: Такое сведение сильно облегчает исследование.

Итак, пусть дано дифференциальное уравнение 2-го порядка, не содержащее аргумента t в явной форме

Обозначим

и будем рассматривать у как функцию х, тогда

Поэтому уравнение (41) можно переписать в виде

Таким образом, каждому решению уравнения (41) соответствует единственное решение уравнения (43). Каждому же решению уравнения (43) соответствует бесконечное множество решений уравнения (41). Эти решения можно найти, интегрируя уравнение

где х рассматривается как функция от

Ясно, что если какая-нибудь функция удовлетворяет этому уравнению, то ему удовлетворяют также все функции где произвольное постоянное.

Может случиться, что не вся интегральная линия уравнения (43) является графиком одной функции от х. Так будет, например, если эта линия замкнута. Тогда эту интегральную линию уравнения (43) надо разбить на несколько кусков, каждый из которых является графиком функции от х. Для каждого из этих кусков надо интегрировать свое уравнение (44).

Величины характеризующие в каждый момент состояние физической системы, соответствующей уравнению (41), называются ее фазами. Соответственно этому плоскость называется фазовой плоскостью для уравнения (41). Каждому решению этого уравнения соответствует линия

на плоскости здесь рассматривается как параметр. Обратно: каждой интегральной для уравнения (43) линии на плоскости

соответствует бесконечное множество решений вида для уравнения (41); здесь произвольное постоянное. Имея всю картину поведения интегральных линий уравнения (43) на плоскости, нетрудно представить себе также характер возможных решений уравнения (41). Каждой замкнутой интегральной линии уравнения (43) отвечают, например, периодические решения уравнения (41).

Подвергая уравнение (6) рассмотренному только что преобразованию посредством подстановки (42), мы получим уравнение

Полагая в уравнении аналогично получим

Подобно тому, как в каждый момент состояние физической системы, соответствующей уравнению порядка (41), характеризуется двумя величинами (фазами) состояние физических систем, описываемых уравнениями более высокого порядка или системами дифференциальных уравнений, характеризуется большим числом величин (фаз). Вместо того, чтобы говорить о фазовой плоскости, тогда говорят о фазовом пространстве.