Гауссова кривизна.

Гауссовой кривизной поверхности в данной точке называется произведение главных кривизн

Знак гауссовой кривизны определяет характер строения поверхности вблизи рассматриваемой точки. При поверхность имеет форму чаши — одинаковых знаков) при когда и разных знаков — форму седла. Остальные случаи строения поверхности, о которых говорилось раньше, соответствуют нулевой гауссовой кривизне. Абсолютная величина гауссовой кривизны дает представление о степени общей искривленности поверхности в некотором отвлечении от распределения кривизны по разным направлениям. Это станет особенно ясным, если

обратиться к другому определению гауссовой кривизны, не опирающемуся на исследование линий на поверхности.

Рассмотрим небольшой участок поверхности содержащий внутри точку каждой точке этого участка проведем нормаль к поверхности.

Если откладывать эти нормали из одной точки, то они заполнят некоторый телесный угол (рис. 32). Величина этого телесного угла будет тем больше, чем обширнее участок и чем сильнее искривлена поверхность на этом участке.

Рис. 31.

Поэтому степень искривленности участка поверхности можно характеризовать отношением величины заполненного нормалями телесного угла к площади самого участка искривленность поверхности в данной точке естественно измерять пределом этого отношения условии, что стягивается в точку Оказывается, что этот предел равен абсолютной величине гауссовой кривизны в точке М.

Самое замечательное свойство гауссовой кривизны, определяющее ее роль в теории поверхностей, заключается в следующем. Представим себе, что рассматриваемая поверхность сделана из гибкого, но практически нерастяжимого материала, скажем, выштампована из тонкой жести. Ее кусок можно затем гнуть, изменяя его форму, но не растягивая и не разрывая материала, из которого он сделан. При этом главные кривизны

будут меняться, но, как доказал Гаусс, их произведение в каждой точке остается неизменным. Этот важнейший в теории поверхностей результат показывает, что поверхности с разной гауссовой кривизной обладают глубоким различием, состоящим в том, что, даже допуская всевозможные изгибания — деформации без растяжения и сжатия, нельзя две такие поверхности наложить друг на друга. Так, например, кусок поверхности шара никаким изгибанием нельзя «распрямить» на плоскость или наложить на поверхность шара другого радиуса.

Рис. 32.

Мы рассмотрели некоторые основные понятия, теории поверхностей. Что касается методов, которыми оперирует эта теория, то, как говорилось вначале, они состоят прежде всего в применении анализа, особенно теории дифференциальных уравнений. С простейшими примерами использования анализа мы уже имели дело при доказательстве теорем Эйлера и Менье. Отметим, что для решения более сложных вопросов употребляется еще специальный способ сведения задач теории поверхностей к задачам анализа. Этот способ основан на введении так называемых криволинейных координат и был впервые широко развит в работах Гаусса, связанных с задачами, которым посвящен следующий параграф.