Исследования П. Л. Чебышева о распределении простых чисел в натуральном ряде.

Обозначим, как это теперь принято, число простых чисел, не превышающих х, через например, так как 2, 3, 5, 7 — все простые, не превышающие десяти; так как 2 и 3 все простые, не превышающие тт. Как мы упоминали,

Как же убывает отношение или, иначе говоря, по какому закону возрастает Нельзя ли указать такую, сравнительно простую, хорошо известную функцию, которая относительно мало отличалась бы от Знаменитый французский математик Лежандр, исходя из рассмотрения таблиц простых чисел, утверждал, что такой функцией является

где но доказательства этого утверждения не дал. Гаусс, который также занимался вопросом о распределении простых чисел, высказал предположение, что сравнительно мало отличается от (заметим» что выполняется соотношение

которое проверяется интегрированием по частям и последующей оценкой полученного интеграла).

Первым, кто добился со времен Эвклида существенного продвижения в труднейшем вопросе о распределении простых чисел, был П. Л. Чебышев. В 1848 г., исходя из рассмотрения функции Эйлера при действительных Чебышев показал, что если сколь угодно велико и у. сколь угодно мало, то будут существовать сколь угодно большие х, для которых

а также сколь угодно большие х, для которых

что хорошо согласуется с предположением Гаусса. В частности, взяв и учитывая (10), Чебышев установил, что

если только предел существует.

. Чебышев опроверг также предположение Лежандра о величине А, входящей в выражение (9) и дающей наилучшее приближение к и показал, что этим значением может быть лишь

Известный французский математик Бертран в своих исследованиях по теории групп встретился с необходимостью доказать следующее предложение, справедливость которого вплоть до весьма больших он проверил эмпирически по таблицам: если то между есть по крайней мере одно простое число. Все попытки Бертрана, а также других математиков, доказать это предложение оставались безрезультатными до когда Чебышев опубликовал вторую работу, посвященную простым числам, в которой не только доказал указанное предложение («постулат Бертрана»), но и показал, что при достаточно больших х выполняются неравенства

где

В § 3 мы дадим упрощенное изложение метода Чебышева, приводящее, правда, к значительно более грубым результатам, чем результаты самого Чебышева.

Работы Чебышева нашли многочисленные отклики у ряда математиков, в частности у Сильвестра и Пуанкаре. В течение более чем сорокалетнего периода ряд ученых занимался улучшением неравенств (12) Чебышева (увеличением постоянной в левой части равенства и уменьшением постоянной в правой части). Но при этом не удавалось показать существования предела

(о котором, как мы уже упоминали, из работ Чебышева было известно, что если он существует, то он равен единице).

Лишь в Адамар, исходя из соображений теории функций комплексного переменного, доказал, что введенная в рассмотрение Чебышевым функция определенная равенством

удовлетворяет условию

откуда уже довольно легко было получить и соотношение (11) без каких-либо дополнительных предположений (так называемый асимптотический закон распределения простых чисел).

Результат (13) был получен А дама ром на основе исследований знаменитого немецкого математика XIX в. Римана, изучавшего функцию Эйлера при комплексных значениях переменной то время как Чебышев рассматривал при действительных значениях аргумента].

Риман показал, что функция определенная в полуплоскости рядом (7) такова, что

является целой трансцендентной функцией [при ] ряд (7) перестает быть сходящимся, но значения в полуплоскости определяются при помощи аналитического продолжения] (см. главу IX). Риман высказал предположение («гипотезу Римана») о том, что все корни

в полосе имеют действительную часть, равную , т. е. лежат на прямой а вопрос о справедливости этого предположения остается открытым и до сих пор.

Важным этапом доказательства (13) было установление факта, что на прямой не лежит корней

Исследование поведения привело к развитию стройной теории целых и мероморфных функций, имеющей важные практические приложения.