Работы Виноградова и его учеников по теории простых чисел.

Вслед за получением равенства (13), которое ввиду (10) может быть записано

возник вопрос о том, с какой степенью точности функция представляет Наилучшие результаты в этом направлении были получены Н. Г. Чудаковым на основе применения созданного И. М. Виноградовым метода тригонометрических сумм (об этом методе будет сказано в § 4), которые позволили также И. Г. Чудакову значительно уменьшить те границы, где можно утверждать наличие хотя бы одного

простого числа. Именно, ранее было установлено, что если рассмотреть последовательность

то, начиная с; некоторого между двумя ее соседними членами, т. е. между лежит хотя бы одно простое число.

Отметим, что, как это следует из формулы бинома,

т. е. эта разность очень велика. Н. Г. Чудакову удалось заменить последовательность (15) последовательностью

заметно более тесной, чем последовательность (15), однако также содержащей по крайней мере одно простое число между ее двумя последовательными членами, т. е. между начиная с некоторого Впоследствии этот результат удалось еще уточнить, заменив четвертые степени кубами.

Если к взаимно простые, т. е. не имеют общего делителя, большего единицы, то арифметическая прогрессия с общим членом содержит бесчисленное множество простых чисел. Этот факт, обобщающий результат Эвклида, был установлен в XIX в. Дирихле. Какова же та граница, которую заведомо не превосходит наименьшее простое число в прогрессии Ленинградский математик Ю. В. Линник доказал существование абсолютной постоянной С, обладающей тем свойством, что в любой прогрессии — взаимно простые) обязательно найдется хоть одно простое, меньшее Тем самым Ю. В. Линник дал с принципиальной точки зрения почти полное решение поставленной много лет назад проблемы о наименьшем простом числе в арифметической прогрессии; дальнейшие исследователи могут лишь заняться уменьшением значения постоянной С. Ю. В. Линнику принадлежат также весьма важные исследования, относящиеся к вопросу о нулях функции и более общих функций.

Как уже упоминалось, наилучшие результаты в вопросе о распределении простых чисел были получены при помощи применения метода И. М. Виноградова оценки тригонометрических сумм.

Тригонометрической суммой называется сумма вида

где — некоторая действительная функция от причем х пробегает все целые значения, лежащие между А и В, или же определенную часть этих значений, например простые, лежащие между А и В. Так

как модуль при действительном z равен единице, а модуль суммы нескольких слагаемых не превосходит суммы модулей этих слагаемых, то, заведомо

Эту «тривиальную» оценку удается в ряде случаев существенно улучшить; решающие шаги в этом направлении были сделаны И. М. Виноградовым. Пусть, для определенности, — многочлен

Если все а — целые, то при х целом и в этом случае, конечно, оценку (17) улучшить нельзя. Если же — не все целые, то, как установил И. М. Виноградов, оценка (17) может быть уточнена в зависимости от приближения какого-либо из этих коэффициентов рациональной дробью с знаменателем, не превышающим некоторого предела (можно показать, что всякое а, лежащее между 0 и 1, представимо в виде где а и — целые, взаимно простые, — наперед заданное целое, большее единицы).

Созданный Виноградовым метод тригонометрических сумм позволил ему решить ряд труднейших проблем теории чисел. В частности, в 1937 г. И. М. Виноградов разрешил знаменитую проблему Гольдбаха, доказав, что всякое достаточно большое нечетное представимо в виде суммы трех простых чисел

Эта проблема возникла в из переписки Эйлера с другим членом Российской Академии наук — X. Гольдбахом и на протяжении почти двух столетий оставалась нерешенной, несмотря на усилия ряда выдающихся математиков, пытавшихся добиться решения этой проблемы.

Как мы видели, в соответствии с равенством (4) простые числа играют фундаментальную роль при мультипликативном представлении целых чисел, равенство же (18) дает аддитивное представление нечетного числа через простые. Нетрудно видеть, что из (18) вытекает представимость достаточно большого четного числа в виде суммы не более чем четырех простых слагаемых. Таким образом, теорема Виноградова—Гольдбаха устанавливает глубочайшую связь между аддитивными и мультипликативными свойствами чисел.

Значение метода тригонометрических сумм, созданного И. М. Виноградовым, не ограничивается одной теорией чисел. В частности, этот метод играет важную роль в теории функций и в теории вероятностей. Некоторое представление о методе Виноградова можно получить в § 4 этой главы.

Читатели, желающие подробнее познакомиться с этим методом, могут обратиться к книге И. М. Виноградова «Метод тригонометрических сумм в теории чисел», предварительно прочитав книгу И. М. Виноградова «Основы теории чисел».