Глава XII. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

В практической жизни нам постоянно приходится приближать одни числа другими. Достаточно сказать, что измерения тех или иных конкретных величин — длин, площадей, температуры ит. д. — приводят нас к числам, только приближенно выражающим эти величины. На практике мы пользуемся только рациональными числами, т. е. числами вида у, где — целые числа. Но, кроме рациональных чисел, имеются еще иррациональные, и если мы не получаем их при измерениях, то наши теоретические рассуждения сплошь и рядом приводят к ним. Мы знаем, например, что длина окружности радиуса равна иррациональному числу х, а длина гипотенузы прямоугольного треугольника с единичными катетами равна . В вычислениях при действиях с иррациональными числами прежде всего приближают их с нужной точностью соответствующими рациональными числами, обыкновенно конечными десятичными дробями.

То же обстоятельство имеет место и в случае функций. Количественные закономерности природы отражаются в математике при помощи функций не точно, а приближенно, с той или иной степенью точности. Более того, в громадном числе случаев появляется необходимость имеющиеся уже в нашем распоряжении функции, заданные по всем математическим правилам, приближать другими функциями с определенной точностью в целях их фактического вычисления.

Однако дело не только в вычислениях. Задача о приближенном представлении функции при помощи других функций имеет большое теоретическое значение. В нескольких словах это можно объяснить так. В процессе развития математического анализа удалось обнаружить и изучить весьма важные классы приближающих функций, т. е. функций, являющихся в известных условиях естественным средством приближения других более или менее произвольных функций. Этими классами оказались прежде всего алгебраические и тригонометрические полиномы, а также их различные обобщения. Оказывается, что

по свойствам заданной функции, которую мы приближаем, при определенных условиях можно судить о характере уклонения от нее приближающих ее функций. Наоборот, зная характер уклонения, например, зная величины уклонений заданной функции от определенного ряда приближающих ее функций, можно узнать свойства этой функции. На этом пути была построена теория функций, базирующаяся на приближенном их представлении при помощи тех или иных классов приближающих функций. Подобная теория имеется и в теории чисел. В ней свойства иррациональных чисел изучаются на основе приближения их с помощью рациональных.

В главе II (том 1) читатель уже познакомился с одним весьма важным методом приближения — формулой Тейлора. При ее помощи функция, если она удовлетворяет определенным условиям, приближается другой функцией вида называемой алгебраическим мноточленом. Здесь — постоянные числа, не зависящие от х.

Алгебраический многочлен есть весьма просто устроенная функция; для ее вычисления по данным коэффициентам и данному значению х требуется применение только трех арифметических действий (сложения, вычитания и умножения). Простота вычисления напрактике чрезвычайно важна. Это обстоятельство послужило одной из причин того, что алгебраические многочлены служат наиболее распространенным средством приближения функций (о другой важной причине мы скажем позднее). Достаточно сказать, что нам, в особенности в последнее время, приходится в массовых масштабах делать технические вычисления на счетных машинах. Современные совершенные счетные машины работают весьма быстро и неутомимо. Однако машина в состоянии делать лишь сравнительно простые операции. Ее можно заставить производить арифметические действия с весьма большими числами, но нельзя, например, заставить осуществить до конца бесконечный процесс перехода переменной величины к пределу. Машина, например, не может вычислить точно Но у нас есть возможность приблизить многочленом с необходимой степенью точности, а затем при помощи машины вычислить многочлен.

Кроме формулы Тейлора, существуют и другие, имеющие очень большое значение в практике методы приближения функций алгебраическими многочленами. К ним относятся прежде всего различные интерполяционные методы, широко употребляющиеся, в частности, при приближенных вычислениях интегралов, а также в вопросах приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Большое распространение получил метод приближения в смысле среднего квадратического, широко применяемый не только к алгебраическим многочленам. Важное значение в определенных областях практики имеет метод наилучшего равномерного или чебышевского приближения, предложенный

великим русским математиком П. Л. Чебышевым, да этот метод и возник, как мы увидим дальше, из решения задач, связанных с конструированием механизмов.

В нашу задачу входит дать представление об этих методах и по возможности указать те условия, при которых один из этих методов следует предпочесть другому. Ни один из них не является абсолютно лучшим. Каждый метод может оказаться лучше других при определенных условиях. Если, например, речь идет о решении физической задачи, то тот или иной метод приближения входящих в нее функций часто диктуется самим существом задачи или, как говорят, физическими соображениями.

Мы увидим также, что при известных обстоятельствах один метод приближения может оказаться применимым, а другой неприменимым.

Каждый из перечисленных методов возник в свое время, имеет свою собственную теорию и историю. Еще Ньютон знал формулу интерполирования и дал весьма удобное для практических вычислений ее выражение через так называемые разностные отношения. Метод приближения в смысле среднего квадратического имеет по крайней мере 150-летнюю давность. Однако долгое время эти методы не составляли сколько-нибудь связной теории. Они представляли собой лишь отдельные практические приемы приближения функций, причем, границы применимости этих методов были неясны.

Настоящая теория приближения функций возникла после работ П. Л. Чебышева, который ввел в науку важное понятие наилучшего приближения, в частности равномерного наилучшего приближения, систематически применял его в приложениях и разработал его теоретические основы. Наилучшее приближение есть основное понятие, с которым оперирует современная теория приближений. После П. Л. Чебышева его идеи получили дальнейшее развитие в трудах его учеников Е. И. Золотарева, А. Н. Коркина и братьев А. А. и В. А. Марковых.

В чебышевский период развития теории приближения функций, помимо введения фундаментальных понятий, были даны основные методы получения наилучших приближений произвольных индивидуальных функций, — методы, которыми мы широко пользуемся в настоящее время; кроме того, были заложены основы изучения свойств приближающих классов, прежде всего алгебраических и тригонометрических полиномов, с точки зрения тех нужд, которые возникают в связи с необходимостью приближения функций.

На дальнейшее развитие теории приближения функций оказало влияние важное в математике открытие, сделанное в конце прошлого столетия немецким математиком Вейерштрассом. Им со всей строгостью была показана принципиальная возможность приближения произвольной непрерывной функции с любой заданной степенью точности

алгебраическим многочленом. Это обстоятельство и есть вторая причины того, что алгебраические многочлены являются универсальным средством приближения функций. Одной простоты устройства алгебраических многочленов еще недостаточно для того, чтобы именно их употреблять в качестве такого средства; нужна еще принципиальная возможномти приблизить непрерывную функцию многочленом с как угодно малой наперед заданной ошибкой. Эта возможность и была доказана Вейер штрассом.

Глубокие идеи наилучшего приближения Чебышева и теорема Вейерштрасса послужили базой для развития (с начала нашего столетия) нового современного направления теории приближения функций Отметим в связи с этим имена С. Н. Бернштейна, Бореля, Джексона, Лебега и Валле Пуссена. Коротко это направление можно охарактеризовать следующими словами. В то время как в чебышевский период (до начала нашего столетия), как правило, ставились задачи о приближении индивидуальных функций, для современного периода характерна задача о приближении многочленами или другими приближающими функциями, где в качестве приближаемой функции фигурирует не отдельная заданная функция, а произвольная функция, принадлежащая к более или менее обширному классу функций (аналитических, дифференцируемых и т. д.).

Русская математическая школа, а теперь советская математическая школа теории приближений играет в этой теории ведущую роль. Большой вклад в эту теорию внесли наши соотечественники С. Н. Бернштейн, А. Н. Колмогоров, М. А. Лаврентьев и их ученики. По существу эта теория в наше время развилась в самостоятельную ветвь теории функций.

Кроме алгебраических многочленов, другим весьма важным средством приближения являются тригонометрические полиномы. Тригонометрическим полиномом порядка называется функция вида

или короче

где — некоторые постоянные.

Существуют различные частные методы приближения тригонометрическими полиномами; эти методы довольно простым образом связаны с соответствующими методами приближения при помощи алгебраических многочленов. Среди этих методов особо важное место занимает разложение функций в тригонометрический ряд Фурье (рядам Фурье посвящен § 7). Этот ряд назван по имени французского математика Фурье,

который в начале прошлого столетия получил относящиеся к этим рядам теоретические результаты, связанные с его работами по теории распространения тепла. Однако надо отметить, что тригонометрические ряды рассматривались еще в середине XVIII века великими математиками Леонардом Эйлером и Даниилом Бернулли. У Эйлера они появлялись в связи с его работами в области астрономии, а у Д. Бернулли — в связи с исследованиями колеблющейся струны. Кстати сказать, Эйлеру и Д. Бернулли принадлежит постановка вопроса принципиального значения о возможности изображения при помощи тригонометрического ряда более или менее произвольной функции, — вопроса, который был окончательно разрешен только в середине прошлого столетия. Положительное его разрешение, о котором мы еще будем говорить ниже, было предвосхищено Д. Бернулли.

Ряды Фурье имеют большое значение в физике, по этой стороне мы уделим мало внимания, так как этот вопрос уже рассматривался в главе VI. Там же читатель может познакомиться с физическими задачами, естественным образом приводящими к необходимости разложения данной функции в ряды, отличные от тригонометрических, но имеющие с ними большое сходство. Мы имеем в виду так называемые ряды по ортогональным функциям.

Ряды Фурье имеют большую историю, длящуюся два столетия. Неудивительно поэтому, что к нашему времени создалась весьма обширная, чрезвычайно тонкая и глубокая теория рядов Фурье, представляющая собой самостоятельную дисциплину в математике. Б этой теории наша советская математика имеет ведущие, а в ряде принципиальных вопросов — непревзойденные достижения. Особенно значительную роль в этой теории сыграла московская школа теории функций действительного переменного (Н. Н. Лузин, А. Н. Колмогоров, Д. Е. Меньшов и др.).

Отметим еще, что значение тригонометрических полиномов в современной математике далеко не исчерпывается той ролью, которую они играют как средство приближения. Например, в главе X читатель имеет возможность познакомиться с фундаментальными результатами Л. М. Виноградова в области теории чисел, полученными нм на основе соответствующим образом разработанного аппарата тригонометрических сумм (полиномов).