Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Функция Ln z.

Мы не будем здесь проводить исследования всех элементарных функций комплексного переменного. Однако для нас важно будет познакомиться еще со свойствами функции Так же как в действительной области, полагаем

если

Чтобы проанализировать функцию запишем число z в тригонометрической форме

Применяя теорему сложения к получим

Сравнение двух полученных выражений для z дает;

Имея в виду, что и и действительные числа, из формулы (а) выводим

где — обычное значение натурального логарифма действительного числа. Равенство может выполняться только в случае, если

а для этого должны отличаться на число, кратное

причем при любом целом равенство будет выполняться. На основании полученных выражений для и и

Рис. 4

Формула (25) определяет функцию для всех значений комплексного числа отличных от нуля. Она дает определение логарифма не только для положительных, но и для отрицательных и комплексных чисел.

Полученное выражение для функции содержит произвольное целое число Это значит, что есть многозначная функция. При любом значении получаем одно из возможных значений функции Если мы фиксируем значение то получим одно из возможных значений этой функции.

Однако различные значения оказывается, органически связаны между собой. В самом деле, фиксируем, например, в точке значение . Пусть теперь непрерывно движется по замкнутой кривой С, окружающей начало координат и возвращающейся в точку (рис. 4). При движении z полярный угол будет непрерывно возрастать и, после того как точка z пройдет весь замкнутый контур, увеличится на Таким образом, фиксировав в значение логарифма

и изменяя это значение непрерывно при движении z вдоль замкнутой кривой, окружающей начало координат, мы вернемся в точку с другим значением функции

Это убеждает нас в том, что можно непрерывным образом перейти от любого значения к другому. Для этого надо, чтобы точка непрерывным образом обошла начало координат нужное число раз. Точка называется точкой ветвления для функции

Если мы хотим ограничиться рассмотрением лишь одного значения функции мы должны запретить точке z описывать замкнутые кривые, окружающие точку Это можно сделать, проведя из начала координат в бесконечность непрерывную линию и запретив точке пересекать эту линию, называемую разрезом. Если z будет изменяться в плоскости с разрезом, то уже нельзя получить непрерывного перехода от одного значения к другому, и, исходя из определенного значения логарифма в какой-нибудь точке мы в каждой точке получим лишь одно значение логарифма. Такое выделенное значение функции называется ее однозначной ветвью.

Например, если разрез проведен вдоль отрицательной части оси мы получим однозначные ветви ограничивая изменение аргумента в пределах

где А — произвольное целое число.

Рассматривая однозначную ветвь логарифма, мы можем изучить его дифференцируемость. Полагая

легко проверить, что удовлетворяет условиям Коши — Римана, а производная, вычисленная, например, по формуле (22), будет равна

Подчеркнем, что производная уже есть однозначная функция.

1
Оглавление
email@scask.ru