Глава VIII. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Примеры вариационных задач.

Чтобы отчетливее выяснить круг вопросов, которые изучаются в вариационном исчислении, рассмотрим предварительно несколько отдельных задач.

1. Линия наискорейшего ската. Задача о брахистохроне, или линии наискорейшего ската, была исторически первой задачей, положившей начало развитию вариационного исчисления.

Среди всех линий, соединяющих точки требуется найти ту, по которой материальная точка, двигаясь под влиянием силы тяжести из без начальной скорости, достигнет пункта в кратчайшее время.

Рис. 1.

Для решения этой задачи мы должны будем рассмотреть всевозможные линии, соединяющие . Если взять какую-либо одну определенную линию I, то ей будет отвечать какое-то определенное значение Т времени ската по ней материальной точки. Время Т будет зависеть от выбора I, и из всех линий, соединяющих нужно выбрать ту, которой отвечает наименьшее значение Т.

Задаче о брахистохроне можно придать другую форму.

Проведем через точки вертикальную плоскость. Линия наискорейшего ската должна, очевидно, лежать в ней, и для ее разыскания мы можем ограничиться только линиями, лежащими в этой плоскости. Примем точку за начало координат, ось направим горизонтально, ось — вертикально вниз (рис. 1). Координаты точки будут (0,0); координаты же точки назовем Возьмем любую линию, которая может быть задана уравнением

где непрерывно дифференцируемая функция. Так как линия проходит через функция на концах отрезка должна удовлетворять условиям

Если взять на линии произвольную точку то скорость движения материальной точки в этом месте линии будет связана с координатой у точки известным из физики соотношением

или

Время, необходимое для того, чтобы материальная точка. прошла элемент дуги линии, имеет значение

и поэтому полное время ската точки вдоль линии от до равно

Разыскание брахистохроны равносильно решению следующей минимальной задачи: среди всевозможных функций (1), удовлетворяющих условиям (2), нужно найти ту, которой соответствует наименьшее значение интеграла (3).

2. Поверхность вращения наименьшей площади. Среди линий, соединяющих две точки плоскости, нужно найти ту, дуга которой при вращёнии около оси образует поверхность с наименьшей площадью.

Обозначим заданные точки и рассмотрим любую линию, которая может быть задана уравнением

Если линия проходит через то функция будет удовлетворять условиям

Вращаясь около оси эта линия опишет поверхность, площадь которой будет численно равна интегралу

Значение интеграла зависит от выбора линии, или, что равносильно, функции Среди всех функций (4), удовлетворяющих условиям

(5), мы должны найти такую функцию, которой отвечает наименьшее значение интеграла (6).

3. Равновесие деформированной мембраны. Под мембраной принято понимать упругую поверхность, плоскую в состоянии покоя, свободно изгибающуюся и работающую только на растяжение. Считается, что потенциальная энергия деформированной мембраны пропорциональна увеличению площади ее поверхности.

Пусть в состоянии покоя мембрана занимает область В плоскости (рис. 2). Деформируем край I мембраны в направлении, перпендикулярном к и обозначим через смещение точки М края. При этом деформируется и средняя часть мембраны.

Рис. 2.

Требуется найти положение равновесия мембраны при заданной деформации ее края.

С большой степенью точности можно считать, что все точки мембраны при указанной деформации совершат перемещения, перпендикулярные к плоскости Обозначим через перемещение точки Площадь мембраны в деформированном состоянии будет

Если деформации элементов мембраны считать настолько малыми, что мы вправе пренебрегать высшими степенями их и сравнительно с низшими степенями, указанное выражение площади можно заменить другим, более простым

Изменение площади мембраны равно

потенциальная же энергия деформации будет иметь значение

где — постоянная, зависящая от упругих свойств мембраны.

Так как смещения точек края мембраны мы считаем заданными, функция и будет на границе области В удовлетворять условию

В положении равновесия потенциальная энергия деформации должна иметь наименьшее возможное значение, и поэтому функция и определяющая отклонения точек мембраны, должна быть найдена на следующей минимальной задачи: среди всех функций непрерывно дифференцируемых в области В и удовлетворяющих на границе условию (8), найти ту, которая дает наименьшее значение интегралу (7).