Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава VIII. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Примеры вариационных задач.

Чтобы отчетливее выяснить круг вопросов, которые изучаются в вариационном исчислении, рассмотрим предварительно несколько отдельных задач.

1. Линия наискорейшего ската. Задача о брахистохроне, или линии наискорейшего ската, была исторически первой задачей, положившей начало развитию вариационного исчисления.

Среди всех линий, соединяющих точки требуется найти ту, по которой материальная точка, двигаясь под влиянием силы тяжести из без начальной скорости, достигнет пункта в кратчайшее время.

Рис. 1.

Для решения этой задачи мы должны будем рассмотреть всевозможные линии, соединяющие . Если взять какую-либо одну определенную линию I, то ей будет отвечать какое-то определенное значение Т времени ската по ней материальной точки. Время Т будет зависеть от выбора I, и из всех линий, соединяющих нужно выбрать ту, которой отвечает наименьшее значение Т.

Задаче о брахистохроне можно придать другую форму.

Проведем через точки вертикальную плоскость. Линия наискорейшего ската должна, очевидно, лежать в ней, и для ее разыскания мы можем ограничиться только линиями, лежащими в этой плоскости. Примем точку за начало координат, ось направим горизонтально, ось — вертикально вниз (рис. 1). Координаты точки будут (0,0); координаты же точки назовем Возьмем любую линию, которая может быть задана уравнением

где непрерывно дифференцируемая функция. Так как линия проходит через функция на концах отрезка должна удовлетворять условиям

Если взять на линии произвольную точку то скорость движения материальной точки в этом месте линии будет связана с координатой у точки известным из физики соотношением

или

Время, необходимое для того, чтобы материальная точка. прошла элемент дуги линии, имеет значение

и поэтому полное время ската точки вдоль линии от до равно

Разыскание брахистохроны равносильно решению следующей минимальной задачи: среди всевозможных функций (1), удовлетворяющих условиям (2), нужно найти ту, которой соответствует наименьшее значение интеграла (3).

2. Поверхность вращения наименьшей площади. Среди линий, соединяющих две точки плоскости, нужно найти ту, дуга которой при вращёнии около оси образует поверхность с наименьшей площадью.

Обозначим заданные точки и рассмотрим любую линию, которая может быть задана уравнением

Если линия проходит через то функция будет удовлетворять условиям

Вращаясь около оси эта линия опишет поверхность, площадь которой будет численно равна интегралу

Значение интеграла зависит от выбора линии, или, что равносильно, функции Среди всех функций (4), удовлетворяющих условиям

(5), мы должны найти такую функцию, которой отвечает наименьшее значение интеграла (6).

3. Равновесие деформированной мембраны. Под мембраной принято понимать упругую поверхность, плоскую в состоянии покоя, свободно изгибающуюся и работающую только на растяжение. Считается, что потенциальная энергия деформированной мембраны пропорциональна увеличению площади ее поверхности.

Пусть в состоянии покоя мембрана занимает область В плоскости (рис. 2). Деформируем край I мембраны в направлении, перпендикулярном к и обозначим через смещение точки М края. При этом деформируется и средняя часть мембраны.

Рис. 2.

Требуется найти положение равновесия мембраны при заданной деформации ее края.

С большой степенью точности можно считать, что все точки мембраны при указанной деформации совершат перемещения, перпендикулярные к плоскости Обозначим через перемещение точки Площадь мембраны в деформированном состоянии будет

Если деформации элементов мембраны считать настолько малыми, что мы вправе пренебрегать высшими степенями их и сравнительно с низшими степенями, указанное выражение площади можно заменить другим, более простым

Изменение площади мембраны равно

потенциальная же энергия деформации будет иметь значение

где — постоянная, зависящая от упругих свойств мембраны.

Так как смещения точек края мембраны мы считаем заданными, функция и будет на границе области В удовлетворять условию

В положении равновесия потенциальная энергия деформации должна иметь наименьшее возможное значение, и поэтому функция и определяющая отклонения точек мембраны, должна быть найдена на следующей минимальной задачи: среди всех функций непрерывно дифференцируемых в области В и удовлетворяющих на границе условию (8), найти ту, которая дает наименьшее значение интегралу (7).

1
Оглавление
email@scask.ru