Сходимость частичных сумм Фурье к порождающей функции.

В приложениях обычно в качестве приближения функции периода берут сумму

первых членов ее ряда Фурье, и тогда возникает вопрос об ошибке приближения. Если функция периода имеет для всех х производную порядка удовлетворяющую неравенству то ошибка приближения выражается следующей оценкой:

где — некоторая постоянная, зависящая только от Мы видим, что ошибка стремится к нулю при неограниченном возрастании и притом тем быстрее, чем больше производных имеет функция.

Для аналитических на всей действительной оси функций оценка еще лучше, она выражается неравенством

где — положительные постоянные, связанные с и при этом Замечательно, что и, наоборот, неравенство (26), если оно имеет место для некоторой функции, влечет за собой аналитичность этой функции. Этот факт, открытие которого является достижением начала нашего

века, в известном смысле примиряет разногласия Д. Бернулли и его современников. Теперь мы можем сказать: если функция разлагается в сходящийся к ней ряд Фурье, то отсюда еще далеко не следует, что она аналитическая; однако она будет заведомо аналитической, если уклонение ее от ее суммы первых членов ряда Фурье убывает быстрее члена некоторой убывающей прогрессии.

Сравнение оценок приближений, даваемых суммами Фурье, с соответствующими оценками наилучших приближений этих функций при помощи тригонометрических полиномов показывает, что суммы Фурье в случае гладких функций дают весьма хорошие приближения, близкие к наилучшим. Однако в случае негладких непрерывных функций дело обстоит хуже: среди них, например, имеются такие, ряды Фурье которых расходятся на множестве всех рациональных точек.

Кстати заметим, что в теории рядов Фурье имеется давно уже поставленная и до сих пор не разрешенная проблема, заключающаяся в следующем. Требуется дать определенный ответ на вопрос: существует ли непрерывная периодическая функция сумма Фурье которой не стремится к этой функции при для всех точек х. Наиболее сильный непревзойденный результат в этом направлении принадлежит А. Н. Колмогорову, доказавшему в 1926 г., что существует периодическая функция, интегрируемая по Лебегу, сумма Фурье которой не сходится к ней ни в одной точке. Но интегрируемая функция может быть разрывной; в частности, такова функция, приведенная А. Н. Колмогоровым. Поэтому проблема ждет еще своего окончательного разрешения.

Чтобы обеспечить приближение произвольных непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами, в настоящее время пользуются так называемыми методами суммирования рядов Фурье. Вместо сумм Фурье в качестве приближающих функцию тригонометрических полиномов рассматривают некоторые их видоизменения. Очень простой такой метод предложил венгерский математик Фейер. Согласно этому методу, для непрерывной периодической функции строится чисто формально ее ряд Фурье, может быть и несходящийся, а затем составляется среднее арифметическое первых частичных сумм этого ряда

Это так называемая сумма Фейера порядка, соответствующая данной функции Фейер показал, что она при равномерно сходится к