Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Сходимость частичных сумм Фурье к порождающей функции.

В приложениях обычно в качестве приближения функции периода берут сумму

первых членов ее ряда Фурье, и тогда возникает вопрос об ошибке приближения. Если функция периода имеет для всех х производную порядка удовлетворяющую неравенству то ошибка приближения выражается следующей оценкой:

где — некоторая постоянная, зависящая только от Мы видим, что ошибка стремится к нулю при неограниченном возрастании и притом тем быстрее, чем больше производных имеет функция.

Для аналитических на всей действительной оси функций оценка еще лучше, она выражается неравенством

где — положительные постоянные, связанные с и при этом Замечательно, что и, наоборот, неравенство (26), если оно имеет место для некоторой функции, влечет за собой аналитичность этой функции. Этот факт, открытие которого является достижением начала нашего

века, в известном смысле примиряет разногласия Д. Бернулли и его современников. Теперь мы можем сказать: если функция разлагается в сходящийся к ней ряд Фурье, то отсюда еще далеко не следует, что она аналитическая; однако она будет заведомо аналитической, если уклонение ее от ее суммы первых членов ряда Фурье убывает быстрее члена некоторой убывающей прогрессии.

Сравнение оценок приближений, даваемых суммами Фурье, с соответствующими оценками наилучших приближений этих функций при помощи тригонометрических полиномов показывает, что суммы Фурье в случае гладких функций дают весьма хорошие приближения, близкие к наилучшим. Однако в случае негладких непрерывных функций дело обстоит хуже: среди них, например, имеются такие, ряды Фурье которых расходятся на множестве всех рациональных точек.

Кстати заметим, что в теории рядов Фурье имеется давно уже поставленная и до сих пор не разрешенная проблема, заключающаяся в следующем. Требуется дать определенный ответ на вопрос: существует ли непрерывная периодическая функция сумма Фурье которой не стремится к этой функции при для всех точек х. Наиболее сильный непревзойденный результат в этом направлении принадлежит А. Н. Колмогорову, доказавшему в 1926 г., что существует периодическая функция, интегрируемая по Лебегу, сумма Фурье которой не сходится к ней ни в одной точке. Но интегрируемая функция может быть разрывной; в частности, такова функция, приведенная А. Н. Колмогоровым. Поэтому проблема ждет еще своего окончательного разрешения.

Чтобы обеспечить приближение произвольных непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами, в настоящее время пользуются так называемыми методами суммирования рядов Фурье. Вместо сумм Фурье в качестве приближающих функцию тригонометрических полиномов рассматривают некоторые их видоизменения. Очень простой такой метод предложил венгерский математик Фейер. Согласно этому методу, для непрерывной периодической функции строится чисто формально ее ряд Фурье, может быть и несходящийся, а затем составляется среднее арифметическое первых частичных сумм этого ряда

Это так называемая сумма Фейера порядка, соответствующая данной функции Фейер показал, что она при равномерно сходится к

1
Оглавление
email@scask.ru