Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. О МЕТОДЕ ЧЕБЫШЕВА

Функция Чебышева O и ее оценка.

Дадим сейчас упрощенное изложение метода Чебышева для подсчета числа простых чисел, лежащих в данных пределах. Для краткости записи условимся употреблять следующие обозначения: если В — некоторая положительная переменная величина, которая может неограниченно возрастать, и А — другая величина, такая, что растет «не быстрее» , где С — положительная постоянная (точнее говоря, если существует постоянная такая, что, начиная с некоторого момента, всегда то мы будем писать

что читают обычно так: а А есть величина порядка В». Так, например,

ибо всегда

точно так же

Будем также обозначать через целую часть , т. е. наибольшее делое число, не превосходящее так, например,

Поставим теперь следующий вопрос: пусть — простое, — натуральное, а как обычно, обозначает произведение (заметим кстати, что с возрастанием величина возрастает очень быстро). Какова наибольшая степень а простого , на которую делится без остатка?

Среди чисел будет ровно чисел, делящихся на ; число тех из них, которые делятся также и на будет далее, из последних чисел будет чисел, делящихся на Отсюда нетрудно видеть, что

(где ряд обрывается сам собой, так как только при .

Действительно, в последней сумме каждый сомножитель произведения такой, что высшая степень числа , на которую он делится, равна учитывается ровно раз: как кратный , как кратный как кратный наконец, как кратный .

Рис. 1.

Из полученного результата и представимости любого натурального числа в виде (4) вытекает, что будет произведением степеней вида

взятых для всех простых Следовательно, будет суммою логарифмов таких степеней, что сокращенно можно записать в виде

Равенство (19) мы упростим. Так как функция а: — возрастающая, то

(это особенно ясно из рис. 1). Следовательно,

с другой стороны,

Пользуясь формулой интегрирования по частям, находим

Итак,

откуда следует, что

Заметим, что более того, при возрастает медленнее любой положительной степени т. е. при любом постоянном

так как по правилу раскрытия неопределенностей [см. главу (том 1), стр. 130].

Далее находим

где — сумма сходящегося ряда Абсолютная сходимость этого ряда устанавливается с учетом (21), например при при помощи признака сравнения и так называемого интегрального признака сходимости рядов [см. главу II (том 1), § 14]. Ввиду (20) и (22) равенство (19) может быть приведено к виду

Рассмотрим теперь введенную Чебышевым функцию

(логарифм произведения всех простых чисел, не превосходящих

Равенство (23) мы может переписать так:

Действительно, каждый заданный войдет во все те суммы вида где т. е. где . Число же таких сумм равно

Равенство (25) верно и для нецелых Чтобы в этом очевидно достаточно показать, что оно верно для всех х с условием для этого достаточно показать, что от замены на х левая часть (25) не изменится, а первый член правой части может увеличиться лишь на Но первое следует из того обстоятельства, что от такой замены ни один из членов левой части не увеличится (обратное могло бы быть лишь при увеличении не менее чем на единицу) и, конечно, не уменьшится. Второе следует из того, что по формуле для приращений функции [см. гл. II (том 1), стр. 128]

имеем

причем правая часть последнего равенства меньше , так как Вычитая из равенства (25) умноженное почленно на 2 равенство, полученное из (25) заменою на найдем

где есть некоторое положительное постоянное. Но — не больше всей левой части, так как разности — не быть отрицательными. Поэтому из последнего неравенства следует

Подставляя здесь вместо числа получим также

откуда, учитывая, что при достаточно больших к когда , почленным сложением получим

Обращаясь далее к равенству (23), находим

ввиду чего равенство (23) дает

где С — постоянное, большее нуля, и О — зависящее от число такое, что

1
Оглавление
email@scask.ru