§ 3. О МЕТОДЕ ЧЕБЫШЕВА

Функция Чебышева O и ее оценка.

Дадим сейчас упрощенное изложение метода Чебышева для подсчета числа простых чисел, лежащих в данных пределах. Для краткости записи условимся употреблять следующие обозначения: если В — некоторая положительная переменная величина, которая может неограниченно возрастать, и А — другая величина, такая, что растет «не быстрее» , где С — положительная постоянная (точнее говоря, если существует постоянная такая, что, начиная с некоторого момента, всегда то мы будем писать

что читают обычно так: а А есть величина порядка В». Так, например,

ибо всегда

точно так же

Будем также обозначать через целую часть , т. е. наибольшее делое число, не превосходящее так, например,

Поставим теперь следующий вопрос: пусть — простое, — натуральное, а как обычно, обозначает произведение (заметим кстати, что с возрастанием величина возрастает очень быстро). Какова наибольшая степень а простого , на которую делится без остатка?

Среди чисел будет ровно чисел, делящихся на ; число тех из них, которые делятся также и на будет далее, из последних чисел будет чисел, делящихся на Отсюда нетрудно видеть, что

(где ряд обрывается сам собой, так как только при .

Действительно, в последней сумме каждый сомножитель произведения такой, что высшая степень числа , на которую он делится, равна учитывается ровно раз: как кратный , как кратный как кратный наконец, как кратный .

Рис. 1.

Из полученного результата и представимости любого натурального числа в виде (4) вытекает, что будет произведением степеней вида

взятых для всех простых Следовательно, будет суммою логарифмов таких степеней, что сокращенно можно записать в виде

Равенство (19) мы упростим. Так как функция а: — возрастающая, то

(это особенно ясно из рис. 1). Следовательно,

с другой стороны,

Пользуясь формулой интегрирования по частям, находим

Итак,

откуда следует, что

Заметим, что более того, при возрастает медленнее любой положительной степени т. е. при любом постоянном

так как по правилу раскрытия неопределенностей [см. главу (том 1), стр. 130].

Далее находим

где — сумма сходящегося ряда Абсолютная сходимость этого ряда устанавливается с учетом (21), например при при помощи признака сравнения и так называемого интегрального признака сходимости рядов [см. главу II (том 1), § 14]. Ввиду (20) и (22) равенство (19) может быть приведено к виду

Рассмотрим теперь введенную Чебышевым функцию

(логарифм произведения всех простых чисел, не превосходящих

Равенство (23) мы может переписать так:

Действительно, каждый заданный войдет во все те суммы вида где т. е. где . Число же таких сумм равно

Равенство (25) верно и для нецелых Чтобы в этом очевидно достаточно показать, что оно верно для всех х с условием для этого достаточно показать, что от замены на х левая часть (25) не изменится, а первый член правой части может увеличиться лишь на Но первое следует из того обстоятельства, что от такой замены ни один из членов левой части не увеличится (обратное могло бы быть лишь при увеличении не менее чем на единицу) и, конечно, не уменьшится. Второе следует из того, что по формуле для приращений функции [см. гл. II (том 1), стр. 128]

имеем

причем правая часть последнего равенства меньше , так как Вычитая из равенства (25) умноженное почленно на 2 равенство, полученное из (25) заменою на найдем

где есть некоторое положительное постоянное. Но — не больше всей левой части, так как разности — не быть отрицательными. Поэтому из последнего неравенства следует

Подставляя здесь вместо числа получим также

откуда, учитывая, что при достаточно больших к когда , почленным сложением получим

Обращаясь далее к равенству (23), находим

ввиду чего равенство (23) дает

где С — постоянное, большее нуля, и О — зависящее от число такое, что