то ее наилучшее приближение
удовлетворяет неравенству
где
— постоянная, зависящая только от
(теорема Джексона). Из неравенства (18) видно, что
при неограниченном возрастании
тем быстрее стремится к нулю, чем большего порядка производную имеет функция
Таким образом, чем лучше (глаже) функция, тем быстрее стремится к нулю ее наилучшее приближение. Как показал С. Н. Бернштейн, имеет место также и в изнестном смысле обратное утверждение.
Еще лучшими, чем дифференцируемые функции, являются аналитические функции. С. Н. Бернштейн показал, что наилучшее приближение
таких функций удовлетворяет неравенству
где
— связанные с
постоянные, причем
т. е. оно стремится к нулю быстрее некоторой убывающей геометрической прогрессии. Он также показал, что, обратно, неравенство (19) влечет за собой аналитичность функции
на
Мы привели несколько важнейших результатов, полученных в начале этого столетия и характерных тем, что они в значительной мере определили направление современной теории приближения функций. Значение этих результатов для практических оценок приближения можно уяснить из следующего примера.
Если
— многочлен
степени, интерполирующий функцию
на отрезке
узлах, являющихся нулями многочлена Чебышева
то на этом отрезке имеет место неравенство
, где с — постоянная, не зависящая от
— наилучшее приближение функции
на
. В этом неравенстве мы можем заменить
превышающими его в силу (18) или (19) величинами в зависимости от гладкости функции
и получить хорошую оценку приближения нашим интерполяционным многочленом. Так как
при возрастании
очень медленно стремится к бесконечности, то порядок оценки в данном случае мало отличается от порядка стремления к нулю
Преимущество интерполирования по чебышевским узлам заключается в том, что при других узлах в соответствующем неравенстве множитель с
заменяется более быстро растущим множителем; он особенно велик в случае равноотстоящих узлов.