Связь между порядком наилучшего равномерного приближения функции и ее дифференциальными свойствами.

Отметим еще следующие результаты. Если функция имеет на отрезке производную порядка не превышающую по абсолютной величине числа К,

то ее наилучшее приближение удовлетворяет неравенству

где — постоянная, зависящая только от (теорема Джексона). Из неравенства (18) видно, что при неограниченном возрастании тем быстрее стремится к нулю, чем большего порядка производную имеет функция Таким образом, чем лучше (глаже) функция, тем быстрее стремится к нулю ее наилучшее приближение. Как показал С. Н. Бернштейн, имеет место также и в изнестном смысле обратное утверждение.

Еще лучшими, чем дифференцируемые функции, являются аналитические функции. С. Н. Бернштейн показал, что наилучшее приближение таких функций удовлетворяет неравенству

где — связанные с постоянные, причем т. е. оно стремится к нулю быстрее некоторой убывающей геометрической прогрессии. Он также показал, что, обратно, неравенство (19) влечет за собой аналитичность функции на

Мы привели несколько важнейших результатов, полученных в начале этого столетия и характерных тем, что они в значительной мере определили направление современной теории приближения функций. Значение этих результатов для практических оценок приближения можно уяснить из следующего примера.

Если — многочлен степени, интерполирующий функцию на отрезке узлах, являющихся нулями многочлена Чебышева то на этом отрезке имеет место неравенство , где с — постоянная, не зависящая от — наилучшее приближение функции на . В этом неравенстве мы можем заменить превышающими его в силу (18) или (19) величинами в зависимости от гладкости функции и получить хорошую оценку приближения нашим интерполяционным многочленом. Так как при возрастании очень медленно стремится к бесконечности, то порядок оценки в данном случае мало отличается от порядка стремления к нулю Преимущество интерполирования по чебышевским узлам заключается в том, что при других узлах в соответствующем неравенстве множитель с заменяется более быстро растущим множителем; он особенно велик в случае равноотстоящих узлов.