то ее наилучшее приближение 
удовлетворяет неравенству
где 
— постоянная, зависящая только от 
(теорема Джексона). Из неравенства (18) видно, что 
при неограниченном возрастании 
тем быстрее стремится к нулю, чем большего порядка производную имеет функция 
Таким образом, чем лучше (глаже) функция, тем быстрее стремится к нулю ее наилучшее приближение. Как показал С. Н. Бернштейн, имеет место также и в изнестном смысле обратное утверждение.
Еще лучшими, чем дифференцируемые функции, являются аналитические функции. С. Н. Бернштейн показал, что наилучшее приближение 
таких функций удовлетворяет неравенству
где 
— связанные с 
постоянные, причем 
т. е. оно стремится к нулю быстрее некоторой убывающей геометрической прогрессии. Он также показал, что, обратно, неравенство (19) влечет за собой аналитичность функции 
на 
Мы привели несколько важнейших результатов, полученных в начале этого столетия и характерных тем, что они в значительной мере определили направление современной теории приближения функций. Значение этих результатов для практических оценок приближения можно уяснить из следующего примера.
Если 
— многочлен 
степени, интерполирующий функцию 
на отрезке 
узлах, являющихся нулями многочлена Чебышева 
то на этом отрезке имеет место неравенство 
, где с — постоянная, не зависящая от 
— наилучшее приближение функции 
на 
. В этом неравенстве мы можем заменить 
превышающими его в силу (18) или (19) величинами в зависимости от гладкости функции 
и получить хорошую оценку приближения нашим интерполяционным многочленом. Так как 
при возрастании 
очень медленно стремится к бесконечности, то порядок оценки в данном случае мало отличается от порядка стремления к нулю 
Преимущество интерполирования по чебышевским узлам заключается в том, что при других узлах в соответствующем неравенстве множитель с 
заменяется более быстро растущим множителем; он особенно велик в случае равноотстоящих узлов.
имеет на отрезке 
производную порядка 
не превышающую по абсолютной величине числа К,