Неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим подробно уравнение

Это — уравнение линейных колебаний материальной точки под действием силы упругости, силы сопротивления среды и внешней периодической силы [см. уравнение (6) в § 1].

Уравнение (26) является неоднородным линейным уравнением. Уравнение (6) будет соответствующим ему однородным уравнением.

Будем искать теперь общее решение уравнения (26).

Заметим, что сумма решений неоднородного уравнения и соответствующего ему однородного уравнения есть также решение неоднородного линейного уравнения. Поэтому, чтобы найти общее решение уравнения (26), достаточно знать одно какое-либо частное решение этого уравнения. Общее решение уравнения (26) представится в виде суммы этого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Естественно ожидать, что движение следует за периодической внешней силой в том же ритме, и искать частное решение уравнения (26) в виде , где В и — некоторые числа. Попытаемся определить В и так, чтобы функция удовлетворяла уравнению (26). Вычисляя производные и подставляя результаты в уравнение (26), получим

Используя хорошо известные формулы, имеем

где Очевидно, если мы положим то функция будет удовлетворять уравнению (26).

Решение вида существует всегда, если . В случае, когда т. е. когда уравнение (26) имеет вид

Частным решением в этом случае, как легко проверить, будет функция

Решения неоднородного уравнения (26) будем называть вынужденными колебаниями. Множитель - характеризует амплитуду 5 найденного нами вынужденного колебания по отношению к амплитуде А возмущающей силы. Кривая, изображающая функцию называется кривой резонанса. Частота при которой достигает наибольшего значения, называется частотой резонанса. Найдем ее. Если наибольшее значение функция принимает при , то при этом значении производная обращается в нуль, т. е. и, следовательно, При этом значении

Отсюда видно, что амплитуда вынужденного колебания при тем больше, чем меньше а. При малых а частота со, близка к значению т. е. к частоте свободных колебаний. При как мы видели, вынужденное колебание имеет вид

т. е. амплитуда этого колебания неограниченно растет при . Это явление называется в математике резонансом. Резонанс наступает, если период внешней силы совпадает с периодом собственных колебаний системы. В действительности в случаях близости периода внешней силы и периода собственных колебаний размах колебаний системы может стать весьма большим.

Возможностью возникновения больших колебаний в системе часто, пользуются для создания различного рода усилителей, например в радиотехнике. Но большие колебания могут также приводить к разрушению конструкций, например мостов и перекрытий сооружений. Поэтому так важно предусмотреть возможность наступления резонанса, или близких к нему колебаний.

Согласно сделанному ранее замечанию, любое решение уравнений (26) представится в виде суммы найденного нами вынужденного колебания и одного из решений однородного уравнения, представленного формулами (20), (21), (23). При решения однородного уравнения стремятся к нулю при т. е. любое движение с течением времени приближается к найденным нами вынужденным колебаниям. Если то вынужденное колебание накладывается на незатухающие собственные колебания системы. При наступает резонанс.

Если на систему действует некоторая внешняя периодическая сила то вынужденные колебания системы можно найти следующим образом. Представляем с достаточной точностью в виде отрезка, тригонометрического ряда

Находим вынужденные колебания, соответствующие каждому слагаемому этой суммы. Вынужденное колебание, соответствующее силе получается наложением колебаний, соответствующих отдельным слагаемым суммы (27). Если какая-нибудь из частот совпадает с частотой собственных колебаний системы, то наступает резонанс.