Отклонение интерполяционного многочлена от порождающей функции.

Метод интерполирования является весьма универсальным средством приближения функций. Принципиально функция не обязана обладать особыми снойствами для возможности ее интерполирования, например не обязана иметь производные на всем протяжении отрезка приближения. В этом смысле метод интерполирования имеет преимущество перед формулой Тейлора. Интересно, что бывают случаи, когда функция будет даже аналитической на отрезке, а к ней формула Тейлора как средство приближения все же не применима. Представим себе, например, что потребовалось достаточно хорошо приблизить на отрезке функцию алгебраическим многочленом. На первый взгляд естественно попытаться для этой цели разложить ее в ряд Тейлора в окрестности точки

Однако нетрудно видеть, что получающийся ряд сходится лишь на интервале — Вне отрезка он расходится и приближать - на всем отрезке не может. В то же время интерполяционный метод здесь вполне применим.

Конечно, всякий раз возникает задача об удачном выборе числа и расположения узлов так, чтобы ошибка приближения удовлетворяла желаемым требованиям. На вопрос о возможной ошибке приближения в случае, если функция имеет производную достаточно высокого порядка, отвечает следующий классический результат, который мы приведем без доказательства.

Если функция имеет на отрезке непрерывную производную порядка то для любого промежуточного значения х из этого отрезка отклонение ее от интерполяционного многочлена Лагранжа с узлами интерполяции выражается формулой

где с — некоторая промежуточная точка, находящаяся между . Эта формула напоминает соответствующую формулу остаточного члена тейлоровского разложения и в сущности представляет ее обобщение. Таким образом, если известно, что производная порядка на отрезке всюду не превышает по абсолютной величине число М, то ошибка приближения для какого-либо значения х из этого отрезка определяется следующей оценкой

Современная теория приближений владеет многими другими способами нахождения оценок при интерполировании. Этот вопрос сейчас достаточно хорошо изучен. При этом обнаружены интересные, совершенно неожиданные факты.

Рассмотрим, например, гладкую функцию заданную на отрезке т. е. такую, что ее график представляет собой непрерывную кривую с непрерывно изменяющейся касательной. То обстоятельство, что мы взяли отрезок с определенными концами —1 и 1, не играет особенной роли; факты, о которых мы будем говорить, имеют место и на произвольном отрезке с несущественными изменениями.

Предположим теперь, что на отрезке мы задали систему точек

и затем построили многочлен степени который совпадает с в этих точках. Будем пока предполагать, что соседние точки системы (5) находятся на равном расстоянии друг от друга. Если а неограниченно увеличивать, то соответствующий интерполирующий нашу функцию многочлен будет во все большем и большем числе точек совпадать с и можно было бы думать, что

в промежуточных точках х, не принадлежащих системе (5), разность будет стремиться к нулю при . Такое мнение существовало еще в конце прошлого столетия, однако впоследствии обнаружилось, что это далеко не так. Оказывается, что для многих гладких (даже аналитических) функций в случае равноотстоящих узлов интерполяционные многочлены совсем не стремятся к когда График интерполяционного полинома хотя и совпадает в заданных узлах с но ценой того, что он сильно отклоняется от графика при больших для промежуточных между узлами значений х и притом тем более отклоняется, чем больше Как показали дальнейшие исследования, подобных явлений можно избежать по крайней мере для гладких функций, если узлы интерполяции расположить на отрезке так, что в середине его они будут распределены более редко, а ближе к концам — более густо.

Рис. 4.

Именно, оказывается, что в известном смысле наилучшим распределением узлов интерполяции является такое распределение, когда узлы совпадают с нулями многочлена Чебышева , которые определяются формулами

Соответствующий этим узлам интерполяционный многочлен, носящий имя Чебышева, обладает тем свойством, что он равномерно при неограниченном возрастании сходится к порождающей его гладкой функции, т. е. фуикции, которая не только сама непрерывна, но, кроме того, имеет непрерывную первую производную. График такой функции есть непрерывная кривая с непрерывно изменяющейся касательной. На рис. 4 дано распределение нулей многочлена Чебышева в случае

Что касается произвольных негладких непрерывных функций, то тут дело обстоит хуже; оказывается, вообще не существует такой последовательности узлов интерполяции, чтобы соответствующий ей интерполяционный процесс сходился для любой непрерывной функции (теорема Фабера). Иначе говоря, каким бы способом мы ни делили отрезок на части, получая при этом неограниченно увеличивающееся

число узлов, всегда найдется такая непрерывная на отрезке функция что многочлены, последовательно интерполирующие ее в этих узлах, не будут к ней сходиться. Еще для математиков середины прошлого столетия этот факт, если бы он был тогда известен, мог звучать парадоксально. Конечно, тут дело заключается в том, что. среди непрерывных негладких функций имеются чрезвычайно «плохие» функции, например не имеющие производной во всех точках отрезка, где они заданы. Вот среди этих функций и можно обнаружить такие для которых заданный интерполяционный процесс расходится. Для них все же можно предложить эффективные способы приближения их многочленами, представляющие собой некоторые видоизменения изложенных выше интерполяционных процессов, но на этом мы останавливаться не будем.

В заключение заметим, что можно интерполировать функции не обязательно алгебраическими многочленами. Существуют, например, хорошо разработанные как с практической, так и с теоретической стороны методы интерполирования тригонометрическими полиномами.