Глава VI. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

Изучая какие-либо явления природы, исследователь встречается с уравнениями в частных производных не менее часто, чем с обыкновенными Дифференциальными уравнениями. Как правило, это бывает в тех случаях, когда явление описывается функциями многих переменных. Из изучения природы возник тот класс уравнений в частных производных, который можно считать наиболее изученным в настоящее время и который, пожалуй, является и наиболее важным в системе человеческого знания, а именно уравнения математической физики.

Рассмотрим прежде всего колебания какой-либо среды. При таких колебаниях каждая точка этой среды, занимающая в равновесии положение будет в момент времени t смещена на вектор и зависящий от начального положения точки и времени . В этом случае интересующее нас явление будет описываться векторным полем. Нетрудно, однако, видеть, что знание этого векторного поля — поля смещений точек среды — еще недостаточно для полного описания колебаний. Необходимо еще знать, например, плотность в каждой точке среды температуру в каждой точке, а также внутренние напряжения, т. е. те силы, которые действуют на произвольно выделенный объем тела со стороны всей остальной части.

Физические явления, физические процессы, происходящие в пространстве и во времени, всегда заключаются в изменении каких-либо физических величин, относящихся к точкам некоторой области пространства, с течением времени. Как мы видели в главе II (том 1), величины эти могут быть описаны при помощи функций четырех независимых переменных х, у, z, t, где — координаты какой-либо точки пространства, время.

Физические величины, как мы знаем, могут быть различной природы. Одни из них полностью характеризуются своим численным значением, как температура, плотность и т. — эти величины называются скалярными. Другие имеют направление, — это векторные величины: скорость, ускорение, напряженность электрического поля и т. д. Векторную величину можно выразить не только длиной вектора и его направлением,

но также с помощью «составляющих» этого вектора, разложив его на сумму трех взаимно перпендикулярных векторов, например параллельных координатным осям.

В математической физике скалярная величина или скалярное поле представляется в виде одной функции от четырех независимых переменных, а векторная величина, определенная во всем пространстве, или, как говорят, векторное поле, описывается тремя функциями от этих переменных. Записывать такую величину можно либо в виде

где жирный шрифт обозначает, что а - вектор, либо в виде трех функций

где , обозначают проекции вектора на координатные оси.

Помимо векторных и скалярных величин, в физике встречаются еще более сложные образования, как, например, напряженное состояние тела в данной точке. Такие величины называются тензорными и при выбранном раз навсегда направлении координатных осей могут быть характеризованы каждая при помощи нескольких функций от тех же четырех независимых переменных.

Таким образом, описание всевозможных физических явлений совершается обычно при помощи нескольких функций многих переменных. Конечно, такое описание ни в какой мере не может претендовать на абсолютную точность.

Описывая, например, плотность среды при помощи одной функции четырех независимых переменных, мы отвлекаемся от того, что на самом деле никакой плотности «в данной точке» не существует. Тела, исследуемые нами, имеют молекулярную структуру, причем молекулы не плотно прилегают одна к другой, а находятся на конечном расстоянии друг от друга. Расстояния между молекулами обычно значительно больше, чем размеры самих молекул. Поэтому та плотность, о которой мы говорим, представляет собою отношение массы вещества, содержащегося в некотором малом, хотя и не чрезмерно малом, объеме к этому объему. Плотность в точке мы несколько условно мыслим себе как предел таких отношений при уменьшении объема. Еще большее отвлечение и идеализацию представляет собою понятие о температуре среды. Теплота тела обусловлена беспорядочным движением молекул этого тела. Энергия молекул различна, но если рассматривать объем, содержащий большое количество молекул, то средняя энергия их беспорядочного движения и будет определять ту характеристику, которую мы называем температурой.

Подобно этому, когда мы говорим о давлении газа или жидкости на стенку сосуда, мы не должны себе представлять давление так, как будто частица жидкости или газа действительно давит на стенки сосуда.

На самом деле эти частицы при своем беспорядочном движения ударяются о стенку сосуда и отталкиваются от нее. То, что мы описываем как давление на стенку, есть на самом деле величина, складывающаяся из очень большого числа импульсов, получаемых некоторым участком стенки, малым с нашей точки зрения и очень большим по сравнению с расстояниями между молекулами жидкости или газа. Можно было бы привести не один десяток примеров подобного рода. Большинство изучаемых в физике величин имеют точно такой же характер. Математическая физика рассматривает идеализированные величины, отвлекаясь от ряда конкретных свойств этих величин и рассматривая лишь средние значения этих величин.

Такая идеализация может показаться грубой, но, как мы увидим дальше, она приносит огромную пользу, позволяя хорошо разобраться в ряде сложных явлений, выделить из них существенную сторону и отбросить то, что является второстепенным с интересующей нас точки зрения.

Предметом математической физики является изучение тех связей, которые существуют между такими идеализированными явлениями, описываемыми при помощи, нескольких функций многих независимых переменных.