§ 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Частный случай построения интерполяционного многочлена.

В практических вычислениях большое распространение получили интерполяционные методы приближения функций. Чтобы ввести читателя в курс вопросов этого рода, рассмотрим следующую элементарную задачу.

Пусть задана на отрезке функция график которой изображен на рис. 1. Вид этого графика напоминает кусок некоторой параболы. Поэтому если мы желаем приблизить нашу функцию при помощи простой функции, то в качестве такой простой приближающей функции естественно выбрать некоторый многочлен 2-й степени

график которой представляет параболу.

Метод интерполирования заключается в следующем. Зададим внутри отрезка еще одну внутреннюю точку Точкам соответствуют значения нашей функции

Рис. 1.

Построим такой многочлен (1), чтобы он в точках совпал с рассматриваемой функцией (его график намечен на рис. 1 пунктиром). Другими словами, требуется подобрать коэффициенты в многочлене (1), чтобы выполнялись равенства

Заметим, что наша фуикция могла с самого начала и не выражаться формулой, например могла представлять некоторую эмпирическую зависимость, описываемую графиком, изображенным на рис. 1. Решив задачу о ее интерполировании, мы получим приближающую функцию в виде аналитического выражения — многочлена Если точность приближения нас удовлетворяет, то полученный многочлен будет иметь перед приближаемой функцией то преимущество, что его можно вычислять для промежуточных значений х.

Поставленную задачу можно решить так: составить три уравнения

найти из них и подставить величины этих коэффициентов в равенство (1). Но мы решим ее несколько иначе. Построим сначала многочлен 2-й степени такой, чтобы он удовлетворял трем условиям: Из последних двух условий следует, что этот многочлен должен иметь вид а из

первого условия следует Таким образом, искомый многочлен имеет вид

Аналогично многочлены

удовлетворяют условиям

Далее, очевидно, многочлен обращается в при и в нуль при и соответствующими свойствами обладают многочлены

Отсюда легко следует, что искомый интерполяционный многочлен 2-й степени, удовлетворяющий требованиям (2), выражается формулой

Заметим, что полученный многочлен является единственным многочленом 2-й степени, решающим поставленную интерполяционную задачу. Действительно, если допустить, что некоторый другой многочлен 2-й степени тоже решает нашу задачу, то разность представляющая собой тоже. некоторый многочлен 2-й степени, обращалась бы в нуль в трех точках: Но мы знаем из алгебры, что если многочлен 2-й степени обращается в нуль для трех значений х, то он тождественно равен нулю. Таким образом, многочлены тождественно совпадают.

Ясно, что полученный многочлен, вообще говоря, совпадает с данной функцией только в точках а для других значений х отличается от нее.

Если точку х, взять посредине отрезка полагая то формула (3) несколько упростится

В качестве примера проинтерполируем синусоиду (рис. 2) при помощи многочлена 2-й степени, совпадающего с ней в точках . Очевидно, искомый многочлен имеет вид

Сравним в двух промежуточных точках:

Таким образом, мы приблизили на отрезке примерно с точностью до 0,05. С другой стороны, разложение в окрестности точки в ряд Тейлора дает

Рис. 2.

Рис. 3

Если остановиться на втором члене разложения, то точке получим приближение т. е. с ошибкой более чем 0,2.

Мы видим, что методом интерполирования нам удалось приблизить на всем отрезке при помощи многочлена 2-й степени более удовлетворительно, чем это удается сделать при помощи многочлена той же степени, разлагая функцию в окрестности точки по формуле Тейлора. Впрочем, не надо забывать, что формула Тейлора зато дает очень точное приближение в малой окрестности гораздо более точное, чем то, которое для такой окрестности имеет место при приближении но методу интерполяции.