Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Частный случай построения интерполяционного многочлена.

В практических вычислениях большое распространение получили интерполяционные методы приближения функций. Чтобы ввести читателя в курс вопросов этого рода, рассмотрим следующую элементарную задачу.

Пусть задана на отрезке функция график которой изображен на рис. 1. Вид этого графика напоминает кусок некоторой параболы. Поэтому если мы желаем приблизить нашу функцию при помощи простой функции, то в качестве такой простой приближающей функции естественно выбрать некоторый многочлен 2-й степени

график которой представляет параболу.

Метод интерполирования заключается в следующем. Зададим внутри отрезка еще одну внутреннюю точку Точкам соответствуют значения нашей функции

Рис. 1.

Построим такой многочлен (1), чтобы он в точках совпал с рассматриваемой функцией (его график намечен на рис. 1 пунктиром). Другими словами, требуется подобрать коэффициенты в многочлене (1), чтобы выполнялись равенства

Заметим, что наша фуикция могла с самого начала и не выражаться формулой, например могла представлять некоторую эмпирическую зависимость, описываемую графиком, изображенным на рис. 1. Решив задачу о ее интерполировании, мы получим приближающую функцию в виде аналитического выражения — многочлена Если точность приближения нас удовлетворяет, то полученный многочлен будет иметь перед приближаемой функцией то преимущество, что его можно вычислять для промежуточных значений х.

Поставленную задачу можно решить так: составить три уравнения

найти из них и подставить величины этих коэффициентов в равенство (1). Но мы решим ее несколько иначе. Построим сначала многочлен 2-й степени такой, чтобы он удовлетворял трем условиям: Из последних двух условий следует, что этот многочлен должен иметь вид а из

первого условия следует Таким образом, искомый многочлен имеет вид

Аналогично многочлены

удовлетворяют условиям

Далее, очевидно, многочлен обращается в при и в нуль при и соответствующими свойствами обладают многочлены

Отсюда легко следует, что искомый интерполяционный многочлен 2-й степени, удовлетворяющий требованиям (2), выражается формулой

Заметим, что полученный многочлен является единственным многочленом 2-й степени, решающим поставленную интерполяционную задачу. Действительно, если допустить, что некоторый другой многочлен 2-й степени тоже решает нашу задачу, то разность представляющая собой тоже. некоторый многочлен 2-й степени, обращалась бы в нуль в трех точках: Но мы знаем из алгебры, что если многочлен 2-й степени обращается в нуль для трех значений х, то он тождественно равен нулю. Таким образом, многочлены тождественно совпадают.

Ясно, что полученный многочлен, вообще говоря, совпадает с данной функцией только в точках а для других значений х отличается от нее.

Если точку х, взять посредине отрезка полагая то формула (3) несколько упростится

В качестве примера проинтерполируем синусоиду (рис. 2) при помощи многочлена 2-й степени, совпадающего с ней в точках . Очевидно, искомый многочлен имеет вид

Сравним в двух промежуточных точках:

Таким образом, мы приблизили на отрезке примерно с точностью до 0,05. С другой стороны, разложение в окрестности точки в ряд Тейлора дает

Рис. 2.

Рис. 3

Если остановиться на втором члене разложения, то точке получим приближение т. е. с ошибкой более чем 0,2.

Мы видим, что методом интерполирования нам удалось приблизить на всем отрезке при помощи многочлена 2-й степени более удовлетворительно, чем это удается сделать при помощи многочлена той же степени, разлагая функцию в окрестности точки по формуле Тейлора. Впрочем, не надо забывать, что формула Тейлора зато дает очень точное приближение в малой окрестности гораздо более точное, чем то, которое для такой окрестности имеет место при приближении но методу интерполяции.

1
Оглавление
email@scask.ru