Кривизна линий на поверхности.

Искривленность поверхности в данной точке характеризуется тем, насколько быстро поверхность отходит от своей касательной плоскости. Но в разных направлениях поверхность может отклоняться от касательной плоскости с различной скоростью (так, поверхность, изображенная на рис. 21, в направлении О А отклоняется от плоскости Р заметно быстрее, чем в направлении Поэтому естественно определять искривленность поверхности кривизнами линий, проходящих на ней в разных направлениях.

Это делается так. Проведем через точку М касательную плоскость Р и выберем определенное направление нормали к ней (рис. 22). Будем рассматривать кривые, которые являются сечениями поверхности плоскостями, проходящими через нормаль в точке эти кривые называются нормальными сечениями. Кривизне нормального сечения приписывается

знак. Кривизна сечения берется с плюсом, если его вогнутость направлена в сторону нормали, и с минусом, если она направлена в противоположную сторону. Так, у поверхности, имеющей седлообразную форму и изображенной на рис. 23, при указанном стрелкой направлении нормали к поверхности кривизна сечения считается положительной, а — отрицательной.

Нормальное сечение задается углом , который его плоскость образует с некоторым начальным лучом в касательной плоскости (рис. 22). Зная кривизну нормального сечения к в зависимости от угла , мы будем иметь довольно полное представление о строении поверхности в районе точки М.

Рис. 21.

Рис. 22.

Поверхность может быть искривлена самым различным образом и поэтому, казалось бы, зависимость кривизны к от угла может быть любой. На самом деле это не так. Для изучаемых в дифференциальной геометрии регулярных поверхностей существует простая закономерность, открытая Эйлером, которая устанавливает связь между кривизнами нормальных сечений, проходящих через данную точку в разных направлениях.

Оказывается, что в каждой точке поверхности существуют два таких направления, которые:

1) взаимно перпендикулярны;

2) кривизны нормальных сечений в этих направлениях представляют собой наибольшее и наименьшее значения из кривизн всех нормальных сечений 1;

3) кривизна к нормального сечения, образующего с нормальным сечением кривизны угол , выражается формулой

Такие направления называются главными направлениями, а кривизны — главными кривизнами поверхности в данной точке.

Эта теорема Эйлера показывает, что, несмотря на всё разнообразив поверхностей, их строение вблизи каждой точки, рассматриваемое с ностью до величин второго порядка малости по сравнению со сдвигом из данной точки, может быть всего лишь нескольких вполне определенных типов. В самом деле, если величины А, и имеют одинаковые знаки, то знак к постоянен, и поверхность вблизи исследуемой точки имеет вид, изображенный на рис. 22. Если кг и разных знаков, например то кривизна нормального сечения, очевидно, меняет знак. Это видно из того, что при кривизна а при имеем

Рис. 23.

Рис. 24.

Из формулы (4) для к нетрудно убедиться, что при изменении от 0 до знак меняется дважды, и, следовательно, вблизи рассматриваемой точки поверхность имеет седлообразную форму (рис. 23).

Когда одно из чисел обращается в нуль, то кривизна все время сохраняет знак, но при одном значении обращается в нуль. Так будет, например, во всякой точке на цилиндре (рис. 24). В общем случае поверхность имеет вблизи такой точки форму, близкую к цилиндрической.

Наконец, при все нормальные сечения имеют нулевую кривизну. Вблизи такой точки поверхность особенно «тесно» прилегает к касательной плоскости. Такие точки называются поэтому точками уплощения. Один из примеров такой точки дан на рис. 25 (точка М). Свойства поверхности вблизи точки уплощения могут быть весьма сложными.

Теперь рассмотрим сечение поверхности произвольной плоскостью (рис. 26), не проходящей через нормаль. Кривизна такой кривой

как показал Менье, связана простым соотношением с кривизной нормального сечения, идущего в том же направлении, т. е. пересекающего касательную плоскость по той же прямой, что и плоскость . Эта связь выражается формулой

где — угол между нормалью и плоскостью (Особенно наглядно справедливость этой формулы можно проследить на примере шара.)

Наконец, кривизна любой кривой, идущей на поверхности и имеющей в качестве соприкасающейся плоскости плоскость как это можно показать, совпадает с кривизной линии пересечения поверхности с плоскостью

Рис. 25.

Рис. 26.

Итак, при известных кривизна любой кривой на поверхности определяется направлением ее касательной и углом между ее соприкасающейся плоскостью и нормалью к поверхности. Таким образом, характер искривления поверхности в данной точке определяется двумя числами кг и . По абсолютной величине они равны кривизнам двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений, а их знак указывает направление вогнутости соответствующего нормального сечения по отношению к выбранному направлению нормали к поверхности.

Докажем приведенные выше теоремы Эйлера и Менье.

1. При доказательстве теоремы Эйлера воспользуемся следующей леммой. Если функция f(x, у) имеет в данной точке непрерывные вторые производные, то оси координат можно повернуть на такой угол а, что в новых координатах смешанная производная будет в этой точке равна нулю. Напомним, что при повороте

осей новые переменные связаны с формулами

[см. главу III (том 1), § 7]. Для доказательства леммы заметим, что

Вычисляя теперь производную по правилам дифференцирования сложных функций, после подсчета получим

откуда легко следует, что при

действительно будет

Рис. 27.

Рассмотрим теперь поверхность заданную уравнением причем начало координат поместим в исследуемой, точке М, а оси будем считать выбранными в касательной плоскости Р и повернутыми так, что Возьмем в плоскости Р произвольную прямую, образующую с осью угол Ф, и рассмотрим нормальное сечение идущее в направлении этой прямой (рис. 27). Согласно формуле, выведенной в § 2, взятая со знаком кривизна в точке М равна

Здесь взятое со знаком расстояние точки на до выбранной прямой. Разлагая по формуле Тейлора (глава II, § 9) и замечая, что как оси лежат в касательной плоскости), получим

где при Для точек на имеем (рис. 27), поэтому получаем

Полагая убеждаемся, что — кривизны нормальных сечейий в направлении осей Поэтому полученная формула и есть формула Эйлера: (То обстоятельство, что играют роль максимальной и минимальной кривизны, уже следует из этой формулы.)

Рис. 28.

2. Для доказательства теоремы Менье рассмотрим нормальное сечение и сечение плоскость которого повернута относительно плоскости сечения на угол как указано на рис. 28. Оси расположим в касательной плоскости и притом так, чтобы ось в начале координат касалась кривых Расстояние точкн X на с координатами до оси очевидно, равно — в (рис. 28). Пользуясь формулой Тейлора, преобразуем выражение кривизны линии следующим образом:

причем когда Так как ось касается кривой то, очевидно, Поэтому, переходи в формуле (5) к пределу, получаем

Но при нашем выборе координатной системы линия имеет уравнение для нее Поэтому Теорема Менье доказана.