§ 8. ПРИБЛИЖЕНИЕ В СМЫСЛЕ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО

Возвратимся к задаче о колебании струны. Допустим, что в некоторый момент времени струна имеет форму Можно показать,

что ее потенциальная энергия т. е. работа, которая освободится, если она из данного возбужденного состояния перейдет в состояние равновесия, равна (при малых отклонениях струны) интегралу по крайней мере с точностью до постоянного множителя.

Представим себе теперь, что нам понадобилось функцию приблизить другой функцией . Наряду с нашей струной мы будем рассматривать струну, форма которой определяется функцией о и еще третью струну, определяемую функцией Можно показать, что если энергия

третьей струны мала, то тем более будет мала разность энергий первых двух струн. Поэтому, если нам важно, чтобы вторая струна имела энергию, мало отличающуюся от первой, мы должны стремиться к нахождению такой функции для которой интеграл (28) был бы по возможности мал. Мы естественным образом пришли к задаче о приближении функции (в данном случае в смысле среднего квадратического.

Вот как эта задача в общем виде ставится. На отрезке задана функция и, кроме того, функция

зависящая не только от х, но и от параметров Требуется, меняя всевозможным образом эти параметры, подобрать их так, чтобы интеграл

оказался наименьшим среди возможных. Эта задача очень похожа но идее на задачу Чебышева. Здесь тоже речь идет о наилучшем приближении функции при помощи функций семейства (29), но только в смысле среднего квадратического. Для нас теперь неважно, чтобы разность была мала для всех значений х из отрезка на протяжении очень малой его части разности разрешается быть даже большой, лишь бы интеграл (30) был мал, как это, например, имеет место для двух графиков, изображенных на рис. 14. Малость величины (30) говорит о том, что в среднем на подавляющей части промежутка функции и близки. Что касается выбора на практике того или другого метода, то тут все зависит от тех целей, которые Мы ставим.

Рис. 14.

В только что рассмотренном примере со струной естественно приближать функцию в смысле среднего квадратического. С другой стороны, метод среднего квадратического не мог удовлетворить П. Л. Чебышева при решении его задач, связанных с конструированием механизмов, так как если поверхность проектируемой детали машины будет хотя бы на самом малом участке значительно выходить за пределы установленного допуска, то такая деталь заведомо не годится: один такой выступ испортит всю машину. Поэтому Чебышев должен был разработать новый математический метод, соответствующий поставленной им практической задаче,

Нужно сказать, что с вычислительной точки зрения метод среднего квадратического является более доступным, так как он сводится к применению хорошо разработанных методов общего анализа.

Для примера рассмотрим следующую характерную задачу. Требуется приблизить наилучшим образом в смысле среднего квадратического на отрезке заданную непрерывную функцию при помощи сумм вида

где — постоянные числа, а функции непрерывны и образуют ортогональную и нормальную систему.

Последнее означает, что имеют место следующие равенства:

Введем в рассмотрение числа

Число называется коэффициентом Фурье функции относительно .

Для произвольных коэффициентов на основании свойств ортогональности и нормальности имеет место равенство

Первое слагаемое правой части полученного равенства не зависит от чисел Поэтому правая часть будет наименьшей при таких при которых второе слагаемое будет самым малым, а это, очевидно, может произойти лишь, если числа соответственно равны коэффициентам Фурье

Итак, мы пришли к следующему важному результату. Если функции образуют ортогональную и нормальную систему на отрезке то сумма будет наилучшим образом в смысле среднего квадратического приближать функцию на этом отрезке тогда и только тогда, когда числа являются коэффициентами Фурье функции относительно

На основании равенств (23) легко убедиться в том, что функции

образуют ортогональную и нормальную систему на отрезке . Поэтому высказанное утверждение применительно к тригонометрическим функциям выглядит следующим образом.

Сумма Фурье вычисленная для заданной непрерывной функции периода наилучшим образом в смысле среднего квадратического приближает на отрезке функцию среди тригонометрических

полиномов

порядка

От полученного результата и теоремы Фейера, сформулированной в § 7, мы перейдем еще к одному замечательному факту.

Пусть — непрерывная периода функция и ее сумма Фейера порядка, определенная в § 7 равенством (27).

Введем обозначение

Так как суммы Фурье — тригонометрические многочлены порядка то очевидно, — тригонометрический многочлен порядка Поэтому в силу доказанного выше минимального свойства суммы справедливо неравенство

Так как по теореме Фейера величина стремится к нулю при , то мы получили следующий важный результат.

Для любой непрерывной периода функции имеет место равенство

В этом случае говорят еще, что сумма Фурье порядка непрерывной функции стремится к при неограниченном возрастании в смысле среднего квадратического.

Впрочем, на самом деле этот факт имеет место для более широкого класса функций, интегрируемых вместе со своими квадратами по Лебегу.

Мы на этом остановимся и не будем приводить другие интересные факты из теории рядов Фурье и ортогональных функций, базирующейся на методе приближения в смысле среднего квадратического. С важными физическими примерами ортогональных систем функций читатель познакомился в главе VI. Наконец, отметим, что по существу этим вопросам в несколько другой трактовке уделено много внимания и в главе XIX (том 3).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)