Задача о минимуме кратного интеграла.

Последняя задача вариационного исчисления, на которой мы задержим внимание читателя, — это задача о минимуме кратного интеграла. Так как факты, связанные с решением таких задач, сходны для интегралов любой кратности, мы остановимся на наиболее простом из кратных интегралов — двойном интеграле.

Пусть В есть область плоскости ограниченная контуром I. Множество допустимых к сравнению функций определим условиями:

непрерывно дифференцируема в области В,

2) и на I принимает заданные значения

Среди всех функций и нужно найти ту, которая дает минимальное значение интегралу

Задание граничных значений (22) для функции и в пространстве означает задание пространственного контура Г, лежащего над I (см. рис. 2 на стр. 155).

Мы рассматриваем всевозможные поверхности проходящие через Г и лежащие над В. Среди них хотим найти ту, для которой интеграл (23) будет минимальным.

Попрежнему считаем функцию, дающую минимум интегралу, существующей; обозначим ее через и. Одновременно рассмотрим другую функцию

где — любая непрерывно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль на I. Тогда функция

должна иметь минимум при . В таком случае первая производная от нее должна обращаться в нуль при

или

Преобразуем два последние слагаемые при помощи формулы Остроградского.

Контурный интеграл по I должен исчезнуть, так как на контуре I функция равна нулю, и условию (24) мы можем придать форму

Это равенство должно быть выполнено для всякой функции непрерывно дифференцируемой и обращающейся в нуль на границе I.

Отсюда, подобно предыдущему, можно заключить, что во всех точках области В должно быть выполнено уравнение

Таким образом, если функция и дает минимум интегралу (23), то она должна удовлетворять уравнению (25) в частных производных.

Как и во всех предшествующих задачах, здесь устанавливается связь между вариационной проблемой о минимуме интеграла и граничной задачей дифференциального уравнения (в данном случае — уравнения в частных производных).

Пример. Отклонение и точек мембраны с деформированным краем должно быть найдено из условия минимума потенциальной энергии

при заданных граничных значениях

Опуская для простоты постоянный множитель можно считать

и уравнение (25) будет иметь вид

или

Следовательно, определение отклонений точек мембраны приводится к нахождению гармонической функции и, принимающей на контуре области заданные значения (см. главу VI, § 3).