§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ

Таблицы.

Старейшим вспомогательным средством вычислений являются таблицы. Простейшие таблицы, например таблица умножения и таблицы логарифмов чисел и значений тригонометрических функций, читателю, конечно, хорошо известны. Круг задач, решаемых в практической деятельности, непрестанно расширяется. Новые задачи часто решаются с применением новых формул, либо приводят к новым функциям, поэтому число необходимых таблиц постоянно возрастает.

Каждая таблица, независимо от ее устройства, содержит результаты ранее проделанных вычислений, являясь своеобразной математической памятью. Печатные или рукописные таблицы предназначены для чтения и использования их человеком. Но можно говорить также о таблицах, оформленных специальным образом, например нанесенных на особые перфорационные карты. Они приспособлены для использования при работе счетных машин. Такие таблицы встречаются значительно реже, и мы не будем о них говорить.

Наиболее распространены таблицы значений функций. Если функция у зависит от одного аргумента х, то простейшая соответствующая

ей таблица имеет форму

Это — так называемая таблица с одним входом. Из нее могут быть непосредственно взяты значения, отвечающие только табличным значениям х. Значения, отвечающие нетабличным х, находятся при помощи различного рода интерполяционных формул, о которых говорилось в главе XII. Соответственно в таблицы часто вносят, помимо значений функции, значения вспомогательных величин, облегчающих выполнение интерполирования. Обычно это бывают значения первых или вторых разностей. Более специальные таблицы требуют специально продуманного выбора интерполяционных формул и включения в таблицы соответствующих данных.

При табулировании функции двух аргументов ее значения обычно размещаются в таблицу с двумя входами и у, схема которой имеет вид

Каждый столбец такой таблицы представляет собой таблицу с одним входом, и таблица (17) является объединением многих таблиц вида (17). Объем таблицы функции двух аргументов бывает, как правило, много больше объема таблиц функций одного аргумента с таким же шагом изменения независимых переменных. Ввиду этого функции двух аргументов табулируются значительно реже, чем функции одного аргумента.

Насколько быстро может расти объем таблицы с увеличением числа аргументов, показывает следующий простой расчет. Пусть требуется табулировать функцию четырех аргументов причем каждый аргумент принимает всего 100 значений. Допустим, что функцию нужно вычислять с малой точностью — только на три значащих цифры. Если бы при таких условиях табулировалась функция одного аргумента, вся таблица значений состояла бы из ста трехзначных чисел и легко размещалась бы на одной странице.

Но в таблице с четырьмя входами для функции t мы будем иметь 100 комбинаций из значений и столько же значений Отсюда легко подсчитать, что таблица заняла бы более 300 томов.

По причине большой громоздкости таблиц, функции многих аргументов табулируются в редких и особенно простых случаях. В последние годы начато систематическое изучение классов функций многих переменных, для которых могут быть составлены таблицы с числом входов, меньшим числа аргументов. Одновременно начата разработка правил возможно более простого конструирования такого рода таблиц.

Приведем простейший пример такой функции.

Пусть требуется табулировать функцию и трех аргументов имеющую следующее строение

Совершенно ясно, что здесь можно ограничиться двумя таблицами с двумя входами, если ввести вспомогательную переменную и представить и как сложную функцию

Для удобства же пользования этими таблицами их можно объединить следующим способом. Рассмотрим функцию и решим это уравнение относительно у

Принципиально говоря, безразлично, какую из функций или табулировать, но нам удобнее табулировать вторую из них. Построим две таблицы с двумя входами для функций и объединим их так, как указано на схеме:

Нахождение значения и, соответствующего заданным значениям. выполняется так: находим столбец, помеченный числом и, двигаясь вдоль него, отыскиваем значение близкое к нему). Вдоль горизонтали против него будет стоять соответствующее значение Если двигаться дальше вдоль этой горизонтали-, то в столбце z мы найдем нужное нам значение

В этом примере, вместо составления таблицы с тремя входами, оказалось достаточным ограничиться двумя таблицами, о двумя входами с простым правилом для операции с ними.

Использование различных возможностей для сокращения таблиц позволяет в некоторых случаях уменьшить объем таблицы в несколько десятков, сотен и даже тысяч раз по сравнению с таблицами, в которых число входов равно числу независимых аргументов.

Настольные счетные машины. Почти столь же давним средством вычислений, как и таблицы, являются различные счетные приспособления. Они применялись еще в древней Греции. В нашей стране давно созданы и сейчас еще весьма широко применяются счеты.

Первые образцы счетных машин были построены в XVII в. Паскалем, Морландом и Лейбницем. С тех пор машины многократно изменялись и совершенствовались, широкое же распространение они получили в конце прошлого и, особенно, в начале текущего столетия.

Мы остановимся только на некоторых видах машин и попытаемся выяснить возможности в ускорении вычислений, которые они доставляют. Начнем с малых или настольных универсальных счетных машин. Каждая из них, независимо от конструкции, предназначена для выполнения четырех арифметических действий, причем умножение и деление выполняются путем многократного поразрядного сложения и вычитания.

Типичный ранний образец такой машины — хорошо всем известный арифмометр с колесами Однера (рис. 2). Набор чисел в установочном механизме выполняется движением в каждом числовом разряде наборного рычага на нужное число делений. При сложении, каждое слагаемое набирается в установочном механизме и затем одним поворотом рабочей ручки передается в результирующий счетчик, где: оно автоматически прибавляется к имеющемуся там числу. Вычитание производится поворотом ручки в обратном направлении. Умножение выполняется набором множимого в установочном механизме и затем многократного его сложения в каждом разряде множителя. Например, умножению на 45 соответствует пятикратное сложение множимого и затем четырехкратное прибавление того же числа, сдвинутого на один разряд.

Для деления чисел делимое следует установить в счетчике результатов, затем, путем многократного поразрядного вычитания из него, делителя, найти частное. Результат определяется числом оборотов,

ручки в каждом разряде и может быть взят из счетчика числа оборотов, который имеется в арифмометре.

Рис. 2.

Мы кратко напомнили порядок вычислений на арифмометре только для того, чтобы сделать более ясным направление дальнейших усовершенствований настольных машин.

Рис. 3.

Некоторые из этих усовершенствований имеют цель сделать машину более удобной без изменения принципиальной схемы ее устройства. К такого рода улучшениям можно

отнести, например, создание арифмометров с электрическим приводом, ускорившим работу машины и освободившим вычислителя от вращения рабочей ручки.

Для ускорения и упрощения набора чисел в установочном механизме были введены клавишные приемные устройства. Установка цифры выполняется не поворотом рычага на определенное число делений, а простым нажатием соответствующей клавиши. Были созданы счетные автоматы, при работе на которых вычислителю достаточно установить числа, с которыми нужно выполнить ту или иную операцию, и затем нажатием кнопки указать, какое из четырех действий должно быть выполнено (рис. 3). Остальное машина делает без вмешательства человека. Усовершенствование настольных машин обеспечило также значительное повышение скорости их работы так, что в наиболее совершенных образцах результат умножения получается через одну секунду после пуска машины. Дальнейшее ускорение работы машины является, очевидно, уже излишним ввиду того, что выполнение самим вычислителем операции установки чисел и записи результатов продолжается значительно дольше.