Оценка количества простых чисел в определенном интервале.

Покажем сейчас, что можно выбрать некоторую положительную постоянную М так, что между будет лежать сколь угодно много простых , если достаточно велико. Именно, установим простые неравенства для числа Т простых чисел интервала Очевидно,

Из равенства (27), заменяя на получим

где следовательно, ввиду равенств (28), (29) и (27),

где т. е.

Но, с другой стороны, так как функция при будет убывающей так как при т. е. то при

откуда, ввиду (30), следует, что

и что

Возьмем теперь постоянную М так, чтобы правая часть (31) была равна единице,

т. е.

и положим

Тогда для числа Т простых, лежащих между мы получим из (31) и (32) неравенства

которые мы и имели в виду установить. Так как при неограниченном возрастании то при этом и