Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Касательная плоскость.

Аналогично тому, как гладкая кривая в каждой точке имеет касательную прямую, к которой она близка в окрестности этой точки, так и многие поверхности в каждой, своей точке имеют так называемую касательную плоскость.

Точное определение ее следующее. Плоскость Р, проходящая через точку М на поверхности называется касательной к поверхности в этой точке, если угол а между плоскостью Р и лучом идущим из М в любую точку X поверхности, стремится к нулю, когда точка X приближается к точке М (рис. 18). Все касательные к кривым, проходящим на поверхности через точку М, лежат, очевидно, в касательной плоскости.

Поверхность называют гладкой, если она имеет в каждой точке касательную плоскость, положение которой с переходом от точки к точке изменяется непрерывно.

Вблизи точки касания поверхность мало отклоняется от своей касательной плоскости: если точка X приближается по поверхности к точке М, то отклонение точки X от касательной плоскости становится все меньше в сравнении с ее расстоянием от точки М (читатель легко проследит это, мысленно приближая на рис. 18 точку X к М). Таким образом, поверхность вблизи точки М как бы сливается с касательной плоскостью. Поэтому

в первом приближении малый кусок или, как говорят, «элемент» поверху ности можно заменить куском касательной плоскости. Перпендикуляр к касательной плоскости, проведенный в точке касания, играет роль перпендикуляра к поверхности в этой точке и называется нормалью.

Эта возможность замены элемента поверхности куском касательной плоскости проявляется во многих случаях.

Например, отражение света от кривой поверхности происходит так же, как отражение от плоскости, т. е. направление отраженного луча определяется обычным законом отражения: луч падающий и луч отраженный лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности и образуют с ней равные углы (рис. 19), как если бы отражение происходило от касательной плоскости.

Рис. 18.

Рис. 19.

Аналогично при преломлении света в кривой поверхности каждый луч преломляется на элементе поверхности по обычному закону преломления, как если бы элемент этот был плоским. На этих замечаниях основаны все расчеты отражения и преломления света в оптических приборах. Далее, например, твердые тела, соприкасаясь, имеют в точке прикосновения общую касательную плоскость. Тела соприкасаются элементами их поверхностей, и давление одного тела на другое при отсутствии трения направлено по нормали в точке прикосновения. Это верно также тогда, когда тела касаются не в одной точке, в этом случае в каждой из точек соприкосновения давление направлено по соответствующей нормали.

На замене элементов поверхности кусками плоскости может быть основано также определение площади разных поверхностей. Поверхность разбивают на малые куски и каждый кусок проектируют на плоскость, касающуюся поверхности в какой-нибудь точке этого участка (рис. 20). Получаются некоторые плоские области Сумма площадей дает приближенное значение площади поверхности. Сама же площадь поверхности определяется как предел сумм площадей кусков при условии, что разбиение поверхности берется все более мелким. Отсюда можно вывести точное выражение площади в виде двойного интеграла.

Рис. 20.

Уже из этих замечаний ясно значение понятая касательной плоскости. Однако во многих вопросах приближенное представление элемента поверхности плоскостью недостаточно и необходимо учитывать искривленность поверхности.

1
Оглавление
email@scask.ru