Касательная плоскость.

Аналогично тому, как гладкая кривая в каждой точке имеет касательную прямую, к которой она близка в окрестности этой точки, так и многие поверхности в каждой, своей точке имеют так называемую касательную плоскость.

Точное определение ее следующее. Плоскость Р, проходящая через точку М на поверхности называется касательной к поверхности в этой точке, если угол а между плоскостью Р и лучом идущим из М в любую точку X поверхности, стремится к нулю, когда точка X приближается к точке М (рис. 18). Все касательные к кривым, проходящим на поверхности через точку М, лежат, очевидно, в касательной плоскости.

Поверхность называют гладкой, если она имеет в каждой точке касательную плоскость, положение которой с переходом от точки к точке изменяется непрерывно.

Вблизи точки касания поверхность мало отклоняется от своей касательной плоскости: если точка X приближается по поверхности к точке М, то отклонение точки X от касательной плоскости становится все меньше в сравнении с ее расстоянием от точки М (читатель легко проследит это, мысленно приближая на рис. 18 точку X к М). Таким образом, поверхность вблизи точки М как бы сливается с касательной плоскостью. Поэтому

в первом приближении малый кусок или, как говорят, «элемент» поверху ности можно заменить куском касательной плоскости. Перпендикуляр к касательной плоскости, проведенный в точке касания, играет роль перпендикуляра к поверхности в этой точке и называется нормалью.

Эта возможность замены элемента поверхности куском касательной плоскости проявляется во многих случаях.

Например, отражение света от кривой поверхности происходит так же, как отражение от плоскости, т. е. направление отраженного луча определяется обычным законом отражения: луч падающий и луч отраженный лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности и образуют с ней равные углы (рис. 19), как если бы отражение происходило от касательной плоскости.

Рис. 18.

Рис. 19.

Аналогично при преломлении света в кривой поверхности каждый луч преломляется на элементе поверхности по обычному закону преломления, как если бы элемент этот был плоским. На этих замечаниях основаны все расчеты отражения и преломления света в оптических приборах. Далее, например, твердые тела, соприкасаясь, имеют в точке прикосновения общую касательную плоскость. Тела соприкасаются элементами их поверхностей, и давление одного тела на другое при отсутствии трения направлено по нормали в точке прикосновения. Это верно также тогда, когда тела касаются не в одной точке, в этом случае в каждой из точек соприкосновения давление направлено по соответствующей нормали.

На замене элементов поверхности кусками плоскости может быть основано также определение площади разных поверхностей. Поверхность разбивают на малые куски и каждый кусок проектируют на плоскость, касающуюся поверхности в какой-нибудь точке этого участка (рис. 20). Получаются некоторые плоские области Сумма площадей дает приближенное значение площади поверхности. Сама же площадь поверхности определяется как предел сумм площадей кусков при условии, что разбиение поверхности берется все более мелким. Отсюда можно вывести точное выражение площади в виде двойного интеграла.

Рис. 20.

Уже из этих замечаний ясно значение понятая касательной плоскости. Однако во многих вопросах приближенное представление элемента поверхности плоскостью недостаточно и необходимо учитывать искривленность поверхности.