§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Существуют важные классы обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение которых можно выразить через простые хорошо изученные функции. Один из таких классов образуют линейные относительно неизвестной функции и ее производных (короче, линейные) дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Такими являются, например, дифференциальные уравнения (3), (6), (8), (14). Линейное уравнение называется однородным, если в нем нет члена.

свободного от неизвестной функции, и неоднородным, если такой член есть.

Однородное линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Такое уравнение имеет вид

где — постоянны. Будем считать положительным; это нисколько не ограничивает общности, так как, переменив знак у всех коэффициентов в случае надобности, мы всегда можем придти к этому случаю, если что мы будем предполагать.

Будем искать решение этого уравнения в виде показательной функции и попытаемся постоянную подобрать так, чтобы функция удовлетворяла уравнению. Подставляя и в левую часть уравнения (6), получим

Следовательно, чтобы было решением уравнения (6), необходимо и достаточно, чтобы

Если — два действительных корня уравнения (19), то решением уравнения (6), как легко проверить, будет также всякая функция вида

где — любые постоянные величины.

Ниже мы покажем, что формула (20) дает все решения уравнения (6) в случае, если уравнение (19) имеет различные действительные корни.

Отметим следующие важные свойства решений уравнения (6):

1. Сумма двух решений уравнения (6) является также решением этого уравнения.

2. Решение уравнения (6), умноженное на постоянную величину, также является решением этого уравнения.

В случае, если — кратный корень уравнения (19), т. е. то решением уравнения (6) будет также функция так как, подставляя эту функцию и ее производные в левую часть уравнения (6), получим

что тождественно равно нулю в силу указанных равенств.

Общее решение уравнения (6) в этом случае имеет вид

Пусть теперь уравнение (19) имеет комплексные корни. Эти корни будут комплексно сопряженными, так как — действительные числа. Пусть Уравнение

эквивалентно двум равенствам

Легко проверить, что в этом случае функции являются решениями уравнения (6). Действительно, подставляя, например, функцию и ее производные в левую часть уравнения (6), получим

Это выражение равно тождественно нулю в силу равенств (22).

Общее решение уравнения (6), если уравнение (19) имеет комплексные корни, получим в виде

где — любые постоянные.

Таким образом, зная корпи уравнения (19), которое называется характеристическим уравнением, мы можем написать общее решение уравнения (6).

Отметим, что общее решение линейного однородного уравнения порядка с постоянными коэффициентами

можно записать аналогичным образом через многочлены, показательные и тригонометрические функции, если известны корни алгебраического уравнения

которое называется характеристическим. Таким образом, задача интегрирования линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами сводится к алгебраической задаче.

Докажем теперь, что формулы (20), (21), (23) действительно дают все решения уравнения (6). Заметим, что в этих формулах всегда можно выбрать так, чтобы функция удовлетворяла любым

Начальным условиям: Для этого нужно определить из системы уравнений

в случае формулы (20), или из других аналогичных уравнений в случае формул (21) и (23). Следовательно, если бы существовало решение уравнения (6), не содержащееся среди указанных нами решений, то существовало бы два различных решения уравнения (6), удовлетворяющих одним и тем же начальным условиям. Их разность была бы отлична от тождественного нуля и удовлетворяла бы нулевым начальным условиям Покажем, что решением уравнения (6), удовлетворяющим нулевым начальным условиям, будет толыф Докажем это сначала в предположении, что Умножим правую и левую части равенства

на Так как равенство (24) можно представить в виде

Интегрируя это тождество в пределах от до I, получим

Это равенство возможно только если Действительно, в противном случае мы имели бы слева, если положительную величину, а справа — нуль. Так же можно рассмотреть случай, когда

Чтобы доказать наше утверждение для любых постоянных коэффициентов рассмотрим функцию которая, как легко проверить, также удовлетворяет нулевым начальным условиям. Если величину выбрать достаточно большой, то функция будет удовлетворять некоторому уравнению вида (6) при Это уравнение легко получить, подставляя функцию и ее производные в уравнение (6). Следовательно, по доказанному выше имеем, что и, значит,

Таким образом, мы доказали, что формулы (20), (21), (23) дают все решения уравнения (6).

Посмотрим, что говорят эти формулы о характере решений уравнения (6). Выпишем для этого формулу

для корней уравнения (19). В соответствии с теми физическими примерами, которые привели нас к уравнению (6), будем считать

Случай 1. . Оба корня характеристического уравнения (19) действительны, отрицательны и различны. В этом случае функция даваемая формулой (20), представляет общее решение урав нения (6). Все даваемые этой формулой функции и их первые производные стремятся к нулю при и не больше, чем при одном значении обращаются в нуль. Следовательно, функция имеет не больше одного максимума или минимума. Физически это означает, что сопротивление среды настолько велико, что колебаний не происходит. Движущаяся точка может не больше одного раза перейти через положение равновесия После этого, достигнув некоторого экстремального удаления от точки она начнет медленно приближаться к этой точке, никогда не проходя через нее.

Случай 2. . Оба корня уравнения (19) равны между собой, и общее решение уравнения (6) дается формулой (21). В этом случае опять все решения и их первые производные стремятся к нулю при При этом не могут обратиться в нуль больше одного раза. Характер движения материальной точки с абсциссой остается таким же, как и в первом случае.

Случай 3. . Корни характеристического уравнения (19) имеют отличную от нуля мнимую часть. Общее решение уравнения (6) дается формулой (23). Точка х совершает колебания по оси с неизменным периодом одинаковым для всех решении уравнения (6), и амплитудой где

Колебания физических систем, происходящие без действия внешней силы, называются собственными колебаниями этих систем. Из предыдущего следует, что период таких колебаний для систем, о которых говорилось в разобранных выше примерах 2, 3, 4, 5, зависит только от устройства этих систем. Он одинаков для всех колебаний, могущих возникнуть в этих системах. В примере 2 он равен в примере 4 он равен в примере 5 он равен

Если т. е. если среда не оказывает сопротивления движению, то амплитуда колебаний постоянна: точка совершает гармонические колебания. Если же т. е. если среда все же оказывает сопротивление

движению, хотя это сопротивление и мало то амплитуда колебаний стремится к нулю, и колебания затухают.

Наконец, решение уравнения (6) во всех случаях описывает состояние покоя точки х, находящейся все время в положении которое мы называем точкой равновесия.

Если действительные части обоих корней уравнения (19) отрицательны, то все решения уравнения (6), как видно из формул (20), (21), (23), дающих все решения этого уравнения, при стремятся к нулю вместе с их производными, т. е. колебания затухают с течением времени.

Если же действительная часть хотя бы одного из корней уравнения (19) была положительной, то у уравнения (6) были бы решения, не стремящиеся к нулю при и тогда некоторые решения уравнения (6) не оставались бы даже ограниченными при Такой случай может быть только при отрицательном или отрицательном а, если Физически это соответствовало бы случаям, когда упругая сила не притягивает точку х к положению равновесия, а отталкивает ее от положения равновесия или когда сопротивление среды отрицательно. Такие случаи неосуществимы в тех физических примерах, которые мы рассматривали в начале этой главы, но они вполне осуществимы на других физических моделях.

Если действительная часть корней и 12 уравнения (19) равна нулю, что возможно только тогда, когда коэффициент а в уравнении (19) равен нулю, то точка как показывает формула (23), при совершает гармонические колебания с ограниченной амплитудой и ограниченной скоростью.