Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИСуществуют важные классы обыкновенных дифференциальных уравнений, общее решение которых можно выразить через простые хорошо изученные функции. Один из таких классов образуют линейные относительно неизвестной функции и ее производных (короче, линейные) дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Такими являются, например, дифференциальные уравнения (3), (6), (8), (14). Линейное уравнение называется однородным, если в нем нет члена. свободного от неизвестной функции, и неоднородным, если такой член есть. Однородное линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Такое уравнение имеет вид
где Будем искать решение этого уравнения в виде показательной функции
Следовательно, чтобы
Если
где Ниже мы покажем, что формула (20) дает все решения уравнения (6) в случае, если уравнение (19) имеет различные действительные корни. Отметим следующие важные свойства решений уравнения (6): 1. Сумма двух решений уравнения (6) является также решением этого уравнения. 2. Решение уравнения (6), умноженное на постоянную величину, также является решением этого уравнения. В случае, если
что тождественно равно нулю в силу указанных равенств. Общее решение уравнения (6) в этом случае имеет вид
Пусть теперь уравнение (19) имеет комплексные корни. Эти корни будут комплексно сопряженными, так как
эквивалентно двум равенствам
Легко проверить, что в этом случае функции
Это выражение равно тождественно нулю в силу равенств (22). Общее решение уравнения (6), если уравнение (19) имеет комплексные корни, получим в виде
где Таким образом, зная корпи уравнения (19), которое называется характеристическим уравнением, мы можем написать общее решение уравнения (6). Отметим, что общее решение линейного однородного уравнения
можно записать аналогичным образом через многочлены, показательные и тригонометрические функции, если известны корни алгебраического уравнения
которое называется характеристическим. Таким образом, задача интегрирования линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами сводится к алгебраической задаче. Докажем теперь, что формулы (20), (21), (23) действительно дают все решения уравнения (6). Заметим, что Начальным условиям:
в случае формулы (20), или из других аналогичных уравнений в случае формул (21) и (23). Следовательно, если бы существовало решение уравнения (6), не содержащееся среди указанных нами решений, то существовало бы два различных решения уравнения (6), удовлетворяющих одним и тем же начальным условиям. Их разность
на
Интегрируя это тождество в пределах от
Это равенство возможно только если Чтобы доказать наше утверждение для любых постоянных коэффициентов Таким образом, мы доказали, что формулы (20), (21), (23) дают все решения уравнения (6). Посмотрим, что говорят эти формулы о характере решений уравнения (6). Выпишем для этого формулу
для корней уравнения (19). В соответствии с теми физическими примерами, которые привели нас к уравнению (6), будем считать Случай 1. Случай 2. Случай 3. Колебания физических систем, происходящие без действия внешней силы, называются собственными колебаниями этих систем. Из предыдущего следует, что период таких колебаний для систем, о которых говорилось в разобранных выше примерах 2, 3, 4, 5, зависит только от устройства этих систем. Он одинаков для всех колебаний, могущих возникнуть в этих системах. В примере 2 он равен Если движению, хотя это сопротивление и мало Наконец, решение Если действительные части обоих корней уравнения (19) отрицательны, то все решения уравнения (6), как видно из формул (20), (21), (23), дающих все решения этого уравнения, при Если же действительная часть хотя бы одного из корней уравнения (19) была положительной, то у уравнения (6) были бы решения, не стремящиеся к нулю при Если действительная часть корней и 12 уравнения (19) равна нулю, что возможно только тогда, когда коэффициент а в уравнении (19) равен нулю, то точка
|
1 |
Оглавление
|