Средняя кривизна.

Во многих вопросах теории поверхностей важную роль играют не сами главные кривизны, а зависящие от них величины: так называемая средняя кривизна и гауссова или полная кривизна поверхности в данной точке. Остановимся на них подробнее.

Средней кривизной поверхности в данной точке называется полусумма главных кривизн

Чтобы привести пример использования этого понятия, рассмотрим следующую механическую задачу. Представим себе, что вдоль поверхности некоторого тела плотно натянута упругая, допустим резиновая, пленка. Спрашивается, как давит в каждой точке пленка на поверхность тела F.

Рис. 29.

Давление в точке М измеряется силой, действующей со стороны пленки на единицу площади малого участка поверхности, содержащего точку точнее, давление «в точке» М измеряется пределом отношения указанной силы к площади участка, когда последний стягивается к точке М.

Окружим на поверхности точку М небольшим криволинейным прямоугольником, стороны которого имеют длины и идут соответственно перпендикулярно первому и второму главному направлению в точке М (рис. 29). На каждую сторону прямоугольника действует сила, пропорциональная (ввиду предположенной равномерности натяжения пленки) длине стороны и величине Т натяжения пленки. Поэтому на стороны, перпендикулярные первому главному направлению, действуют силы, приближенно равные и направленные по касательной к поверхности. Аналогичные силы, равные приложены к другой паре сторон прямоугольника. Чтобы найти давление в точке М, нужно равнодействующую этих четырех сил разделить на площадь прямоугольника, приближенно равную и перейти к пределу при

Сложим отдельно первые две силы и поделим их равнодействующую на

Если посмотреть на прямоугольник сбоку (рис. 30), то можно увидеть, что эти силы направлены по касательным к линии первого нормального сечения и расстояние между точками их приложения как раз равно Поэтому вычисление интересующего нас предела — это та самая задача, которая была решена в § 2 в связи с вопросом о давлении нити на опору. Используя прежний результат, получим, что интересующий нас.

предел равен где — кривизна первого нормального сечения. Учитывая аналогично другие две силы, приходим к формуле:

Полученный результат имеет многочисленные и важные следствия Рассмотрим пример.

Известно, что поверхностная пленка жидкости имеет некоторое, одинаковое во всех направлениях поверхностное натяжение. При изогнутой форме границы жидкого тела это натяжение, согласно сказанному выше, вызывает давление поверхностной пленки на жидкость, пропорциональное средней кривизне граничной поверхности в данной точке.

Рис. 30.

По этой причине в каплях весьма малого размера должны развиваться колоссальные давления, что препятствует образованию весьма малых капель. При охлаждении пара капли, как правило, образуются сначала вокруг пылинок и заряженных частиц. В совершенно чистом несколько переохлажденном паре каплеобразование задерживается. Если же, например, через этот пар пролетает с большой скоростью частица, возбуждающая ионизацию молекул, то вокруг образовавшихся на её пути ионов мгновенно образуются капельки пара, составляющие видимый след частицы. (На этом основано устройство широко используемой в ядерной физике камеры Вильсона, позволяющей наблюдать движения отдельных заряженных частиц.)

Поскольку жидкость передает давление во все стороны равномерно, капля жидкости при отсутствии других источников давления должна принимать форму, при которой во всех точках ее поверхности средняя кривизна одинакова. В так называемом опыте Плато берутся две жидкости одинакового удельного веса, благодаря чему сгусток одной жидкости плавает внутри другой, находясь в равновесии. Можно считать, что плавающая жидкость находится только под давлением, вызванным поверхностным натяжением ее границы. При этом оказывается, что «плавающая» жидкость всегда принимает форму шара. Результат опыта наводит на мысль, что всякая замкнутая поверхность с постоянной средней кривизной есть шар. Эта теорема действительно верна, но строгое математическое доказательство ее очень трудно.

Можно подойти к вопросу еще с другой стороны. Ввиду того, что поверхностная пленка жидкости стремится сократиться, а объем жидкости измениться не может, естественно ожидать, что плавающая масса жидкости должна обладать наименьшей поверхностью при данном объеме. Доказано, что тело, обладающее указанным свойством, тоже есть шар.

Полученная зависимость между боковым давлением пленки и ее средней кривизной находит также применение в задаче о форме мыльной пленки, натянутой на некоторый контур. Поскольку в этом случае боковое давление пленки, направленное по нормали к ее поверхности, не уравновешивается никакой реакцией опоры (опоры в этом случае просто нет), то оно должно быть равно нулю, и мы получаем для искомой поверхности условие

Используя аналитическое выражение средней кривизны, из этого условия получают дифференциальное уравнение, и задача сводится к решению этого уравнения с учетом того, что искомая поверхность проходит через заданный контур Этой трудной задаче посвящено много исследований.

К тому же уравнению (6) приводит задача о нахождении поверхности наименьшей площади, натянутой на заданный контур. С физической точки зрения это совпадение естественно, так как пленка стремится сократиться и приходит в устойчивое равновесие, когда достигает минимальной площади, возможной в данных условиях. Поверхности нулевой средней кривизны называют в связи с этой последней задачей минимальными.

Математическое исследование минимальных поверхностей представляет большой интерес, отчасти в связи с качественным их разнообразием, обнаруженным в опытах с мыльными пленками. На рис. 31 приведены изображения мыльных пленок, натянутых на различные контуры.