Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Квазиконформные отображения.

Конформные отображения тесно связаны с изучением аналитических функций или с изучением пары функций, удовлетворяющих условиям Коши—Римана

Во многих задачах математической физики встречаются более общие классы систем дифференциальных уравнений, с которыми также могут быть связаны отображения одной плоскости на другую, обладающие определенными геометрическими свойствами в окрестности каждой точки плоскости Чтобы пояснить это, рассмотрим следующий пример системы дифференциальных уравнений

Если то эта система вырождается в систему Коши — Римана. В общем случае произвольной функции мы можем также каждое решение системы (38) толковать как отображение плоскости на плоскость Рассмотрим геометрические свойства нашего отображения в окрестности точки Для этого, считая малой окрестность точки сохраним лишь первые члены в разложении функций и и по и будем рассматривать отображение как аффинное

Если функции и удовлетворяют системе уравнений (38), то для этого аффинного преобразования имеет место следующее свойство.

Эллипсы с центром в точке с главными осями, параллельными осям координат, и отношением полуосей

на плоскости переходят в окружности с центром в точке

Докажем это предложение. Уравнение окружности с центром на плоскости будет

Подставляя сюда выражения для через х и у, получим уравнение соответствующей кривой на плоскости

Воспользуемся теперь уравнениями (38), чтобы выразить производные от функции через производные от функции и. Тогда получим

К ели положим

то уравнение приведется к виду

Таким образом, кривая, которая переходит в круг, есть действительно эллипс с указанными выше свойствами.

Если рассматривать не аффинное преобразование, даваемое первыми членами разложения, а точное, то найденное свойство отображения будет выполняться тем точнее, чем меньше размеры полуосей эллипса.

Можно сказать, что это свойство будет выполняться для бесконечно малых эллипсов.

Таким образом, из уравнений (38) вытекает, что в каждой точке задано отношение полуосей и направление полуосей бесконечно малого

эллипса, переходящего в круг. Оказывается, что это геометрическое свойство вполне характеризует систему дифференциальных уравнений (38), т. е. если функции и и реализуют отображение, обладающее указанным геометрическим свойством, то они удовлетворяют этой системе. Таким образом, задача исследования решения уравнений (38) равносильна задаче изучения отображений, обладающих указанным свойством.

Отметим, в частности, что для уравнений Коши — Римана это свойство формулируется следующим образом.

Бесконечно малый круг с центром в точке переходит в бесконечно малый круг с центром в точке

Весьма широкий класс уравнений математической физики может быть сведен к изучению отображений со следующими геометрическими свойствами.

Для каждой точки плоскости аргументов задано направление полуосей и отношение полуосей двух эллипсов. Требуется построить отображение плоскости на плоскость так, чтобы бесконечно малые эллипсы первого семейства переходили в бесконечно малые эллипсы второго семейства с центрами в точках

Рассмотрение отображений, Связанных с такими общими системами уравнений, было введено советский математиком М. А. Лаврентьевым. Эти отображения получили название квазиконформных отображений. Идея изучения отображений, определяемых системами дифференциальных уравнений, дала возможность распространить методы теории аналитических функций на весьма обширные классы задач. М. А. Лаврентьевым и его учениками было проведено исследование квазиконформных отображений и были получены многочисленные приложения этих исследований к различным задачам математической физики, механики и геометрии. Интересно отметить, что рассмотрение квазиконформных отображений оказалось весьма плодотворным и в самой теории аналитических функций.

Конечно, здесь мы не можем остановиться на всех разнообразных направлениях применения геометрического метода в теории функций комплексного переменного.

1
Оглавление
email@scask.ru