Аналитическое продолжение и полные аналитические функции.

Часто при задании функции комплексного переменного область ее определения ограничивается самим способом задания функции. Рассмотрим совсем элементарный пример. Пусть функция задана рядом

Этот ряд, как известно, сходится в единичном круге с центром в начале координат и расходится вне этого круга. Поэтому аналитическая функция, заданная формулой (49), определена лишь в этом круге. С другой стороны, мы знаем, что сумма ряда (49) в круге выражается формулой

Формула (50) уже имеет смысл при всех значениях На основании теоремы единственности выражение (50) дает единственную аналитическую функцию, совпадающую с суммой ряда (49) в круге Таким образом, функцию, заданную сначала только в единичном круге, мы продолжили на всю плоскость.

Если мы имеем функцию определенную внутри некоторой области и существует другая функция определенная в области содержащей и совпадающая с в то в силу теоремы единственности значения определяются единственным образом.

Рис. 22.

Функция носит название аналитического продолжения Аналитическую функцию будем называть полной, если она не может быть продолжена с сохранением аналитичности за пределы той области, где она уже задана. Например, целая функция, определенная во всей плоскости, будет полной функцией. Мероморфная функция будет также полной функцией; она определена всюду, кроме своих полюсов. Однако существуют также аналитические функции, полная область определения которых есть ограниченная область. Мы будем останавливаться на этих более сложных примерах.

Понятие полной аналитической функции приводит к необходимости рассмотрения неоднозначных функций комплексного переменного. Покажем это на примере функции

где — Если в некоторой точке плоскости z рассмотреть некоторое исходное значение функции

то нашу аналитическую функцию можно непрерывно продолжать, двигаясь вдоль некоторой кривой С. Как уже упоминалось, легко усмотреть, что если точка z опишет замкнутый путь выходящий из точки охватывающий начало координат (рис. 22) и возвращающийся снова в точку то мы вернемся в точку с исходным значением а угол увеличится на Это показывает, что, продолжая непрерывным

образом вдоль пути С функцию мы увеличим при обходе контура С значение функции на Если точка z опишет этот замкнутый контур раз, то вместо исходного значения мы получим новое значение

Если точка z опишет раз контур С в обратном направлении, мы получим

Проведенные рассуждения показывают, что на плоскости комплексного переменного мы неизбежно должны рассматривать связанные между собой различные значения Функция бесконечнозначна. Для многозначности функции особую роль играет точка обходя которую мы переходим от одного значения функции к другому. Легко убедиться, что если z описывает замкнутый контур, не окружающий начала координат, то при этом значение не изменится. Точка называется точкой ветвления функции

Вообще, если для некоторой функции при обходе точки а мы переходим от одного ее значения к другому, точка а называется точкой ветвления функции

Рассмотрим другой пример. Пусть

Как отмечалось выше, эта функция тоже многозначна и принимает значений

Все различные значения нашей функции можно получить, исходя из одного

и описывая замкнутые линии вокруг начала координат, так как при каждом обходе вокруг начала угол будет увеличиваться на

Описав замкнутую кривую раз, получим, исходя из первого

значения остальные его значений. Обход контура в раз приведет к значению корня

т. e. мы вернемся к исходному значению корня.