Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Аналитическое продолжение и полные аналитические функции.

Часто при задании функции комплексного переменного область ее определения ограничивается самим способом задания функции. Рассмотрим совсем элементарный пример. Пусть функция задана рядом

Этот ряд, как известно, сходится в единичном круге с центром в начале координат и расходится вне этого круга. Поэтому аналитическая функция, заданная формулой (49), определена лишь в этом круге. С другой стороны, мы знаем, что сумма ряда (49) в круге выражается формулой

Формула (50) уже имеет смысл при всех значениях На основании теоремы единственности выражение (50) дает единственную аналитическую функцию, совпадающую с суммой ряда (49) в круге Таким образом, функцию, заданную сначала только в единичном круге, мы продолжили на всю плоскость.

Если мы имеем функцию определенную внутри некоторой области и существует другая функция определенная в области содержащей и совпадающая с в то в силу теоремы единственности значения определяются единственным образом.

Рис. 22.

Функция носит название аналитического продолжения Аналитическую функцию будем называть полной, если она не может быть продолжена с сохранением аналитичности за пределы той области, где она уже задана. Например, целая функция, определенная во всей плоскости, будет полной функцией. Мероморфная функция будет также полной функцией; она определена всюду, кроме своих полюсов. Однако существуют также аналитические функции, полная область определения которых есть ограниченная область. Мы будем останавливаться на этих более сложных примерах.

Понятие полной аналитической функции приводит к необходимости рассмотрения неоднозначных функций комплексного переменного. Покажем это на примере функции

где Если в некоторой точке плоскости z рассмотреть некоторое исходное значение функции

то нашу аналитическую функцию можно непрерывно продолжать, двигаясь вдоль некоторой кривой С. Как уже упоминалось, легко усмотреть, что если точка z опишет замкнутый путь выходящий из точки охватывающий начало координат (рис. 22) и возвращающийся снова в точку то мы вернемся в точку с исходным значением а угол увеличится на Это показывает, что, продолжая непрерывным

образом вдоль пути С функцию мы увеличим при обходе контура С значение функции на Если точка z опишет этот замкнутый контур раз, то вместо исходного значения мы получим новое значение

Если точка z опишет раз контур С в обратном направлении, мы получим

Проведенные рассуждения показывают, что на плоскости комплексного переменного мы неизбежно должны рассматривать связанные между собой различные значения Функция бесконечнозначна. Для многозначности функции особую роль играет точка обходя которую мы переходим от одного значения функции к другому. Легко убедиться, что если z описывает замкнутый контур, не окружающий начала координат, то при этом значение не изменится. Точка называется точкой ветвления функции

Вообще, если для некоторой функции при обходе точки а мы переходим от одного ее значения к другому, точка а называется точкой ветвления функции

Рассмотрим другой пример. Пусть

Как отмечалось выше, эта функция тоже многозначна и принимает значений

Все различные значения нашей функции можно получить, исходя из одного

и описывая замкнутые линии вокруг начала координат, так как при каждом обходе вокруг начала угол будет увеличиваться на

Описав замкнутую кривую раз, получим, исходя из первого

значения остальные его значений. Обход контура в раз приведет к значению корня

т. e. мы вернемся к исходному значению корня.

1
Оглавление
email@scask.ru