§ 3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Способы задания поверхности.
Естественно, что для изучения поверхностей средствами анализа нужно уметь задавать поверхность аналитически. Проще всего задавать поверхность уравнением
в котором 
— декартовы координаты точки, лежащей на поверхности. При этом функция f(x, у) не обязательно должна быть определена при всех 
— область ее задания может иметь различное строение. Так, на рис. 15 изображена поверхность, для которой 
задана внутри кольца.
Рис. 15.
Рис. 16.
Примеры задания поверхностей уравнением 
уже известны нам из аналитической геометрии. Мы знаем, например, что уравнение 
(
задает плоскость; уравнение 
— параболоид вращения (рис. 16). Для применения дифференциального исчисления нужно, чтобы функция f(x, у) имела первые, вторые (иногда и некоторые следующие) производные. Поверхность, представимая таким уравнением, называется регулярной. Геометрически это означает (хотя и не совсем точно), что поверхность непрерывно изогнута, не имеет изломов и иных особенностей. Изучение же поверхностей, не подчиненных этим условиям, например, имеющих острия, ребра и другие особенности, требует новых приемов исследования (см. § 5).
Однако не всякую поверхность, даже лишенную особенностей, можно представить в целом уравнением вида 
. Если каждой паре значений 
из области задания f(x, у) отвечает вполне определенное z, то это значит, что всякая прямая, параллельная оси 
должна иметь с поверхностью не более одной общей точки (рис. 17). Поэтому даже столь простые поверхности, как сферу или цилиндр, нельзя задать в целом уравнением вида 
. В этих случаях поверхности задают
иначе, например неявным уравнением вида F (х, у, z)=0. Так, сфера радиуса 
с центром в начале координат имеет уравнение
уравнение 
задает цилиндр радиуса 
Там, где речь идет об изучении лишь малых кусков поверхности, а в классической дифференциальной геометрии в основном ограничиваются задачами такого рода, способ задания поверхности уравнением 
является вполне общим, так как всякий достаточно малый кусок гладкой поверхности представим в таком виде. Мы примем этот способ за основу, а о других способах задания поверхности расскажем по ходу дела в § 4 и 5.
Рис. 17.
