Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного.

Степенной ряд может служить для «продолжения» функций действительного переменного в комплексную область. Так, например, для комплексных значений z определяем функцию степенным рядом

Аналогично вводятся тригонометрические функции комплексного переменного

Эти ряды сходятся во всей плоскости.

Интересно отметить связь, которая обнаруживается между показательной и тригонометрическими функциями при переходе в комплексную область.

Подставляя в равенство вместо z, получим

Группируя вместе члены без множителя и члены с множителем получаем

Аналогично выводится

Формулы (16) и (16) носят название формул Эйлера. Решая (16) и (16) относительно получаем

Весьма важно, что для комплексных значений аргумента остается верным простое правило, называемое теоремой сложения аргумента

Так как для комплексных значений аргумента мы определили функцию рядом (13), формулу (18) надо доказать, исходя из этого определения. Проведем это доказательство:

Будем производить умножение рядов почленно. Получаемые члены при перемножении рядов мы можем выписать в виде квадратной таблицы

Соберем теперь вместе члены с одинаковой суммой степеней Легко заметить, что такие члены лежат на диагоналях нашей таблицы. Получаем

Общий член этого ряда будет

Применяя формулу бинома Ньютона, приведем общий член к виду

Таким образом, общий член ряда (19) совпадает с общим членом ряда для и это доказывает теорему о правиле умножения (18).

Теорема сложения и формулы Эйлера позволяют вывести выражение для функции через функции действительных переменных в конечном виде (без ряда). В самом деле, полагая

получим

и так как

находим

Полученная формула очень удобна при исследовании свойств функции Отметим два ее свойства: 1) функция нигде не обращается в нуль; в самом деле, и входящие в формулу одновременно не могут обратиться в нуль; 2) функция имеет период т. е.

Последнее следует из теоремы умножения и равенства

Формулы (17) позволяют исследовать функции в комплексной области. Мы предоставляем читателю доказать, что в комплексной области имеют период и для них верны теоремы о синусе и косипусе суммы.