Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Экстремумы функционалов и вариационное исчисление.

Приведенные примеры дают возможность составить представление о круге задач, которые рассматриваются в вариационном исчислении. Но чтобы точно определить положение вариационного исчисления в математике, мы должны ознакомиться с несколькими новыми понятиями. Напомним, что одним из основных понятий математического анализа является понятие функции. В простейшем случае понятие о функциональной зависимости может быть высказано так. Пусть М какое-либо множество действительных чисел. Если каждому числу х из множества М соответствует некоторое число у, то говорят, что на множестве М определена функция Множество М часто называют областью определения функции.

Понятие функционала является прямым и естественным обобщением понятия функции и содержит его как частный случай.

Пусть М есть множество каких угодно объектов. Природа этих объектов для нас сейчас безразлична. Это могут быть числа, точки пространства, линии, функции, поверхности, состояния или даже движения механической системы и т. д. Для краткости мы будем их называть в дальнейшем элементами множества М и обозначать буквой х.

Если каждому элементу х из М соответствует некоторое число у, то говорят, что на множестве М определен функционал

Если множество М есть множество чисел х, то функционал будет функцией одного аргумента. Когда М есть множество пар чисел или множество точек плоскости, функционал будет функцией двух аргументов и т. д.

Для функционала мы поставим следующую задачу:

Среди всех элементов х из М нужно найти тот элемент, для которого функционал имеет минимальное значение.

Аналогично формулируется задача о максимуме этого функционала.

Заметим, что если мы у функционала изменим знак и будем рассматривать функционал то максимумы (минимумы) перейдут в минимумы (максимумы) Поэтому отдельно изучать максимумы и минимумы не имеет смысла, так как теория их является

весьма сходной, и в последующем мы будем говорить преимущественно о минимумах функционалов.

В задаче о линии наискорейшего ската функционалом, минимум которого ищется, был интеграл (3) — время ската материальной точки вдоль линии. Этот функционал был определен на всевозможных функциях (1), удовлетворяющих условию (2).

В задаче о положении равновесия мембраны функционалом являлась потенциальная энергия (7) деформированной мембраны, и мы должны были найти ее минимум на множестве функций и удовлетворяющих граничному условию (8).

Каждый функционал определяется двумя факторами: множеством М элементов х, на котором он задан, и тем законом, по которому каждому элементу х ставится в соответствие число (значение функциопала). Методы разыскания наибольших и наименьших значений функционалов несомненно должны зависеть от свойств множества М.

Вариационное исчисление является частной главой теории функционалов. В нем рассматриваются функционалы, заданные на множествах функций, и задачей вариационного исчисления является построение теории экстремумов таких функционалов.

Особенно большое значение эта ветвь математики приобрела после того, как была установлена ее связь с многими отделами физики и механики. Причину этого можно видеть в следующем. Как будет выяснено ниже, для того чтобы функция давала экстремум функционалу, необходимо, чтобы она удовлетворяла некоторому дифференциальному уравнению. С другой стороны, как уже говорилось в главах, посвященных дифференциальным уравнениям, весьма часто количественные законы механики и физики также записываются в форме дифференциальных уравнений. Как оказалось, многие уравнения такого рода являются вместе с тем и дифференциальными уравнениями вариационного исчисления. Это дало возможность уравнения механики и физики рассматривать как условия экстремумов соответствующих функционалов и физические законы, высказывать в форме требования экстремума, в частности минимума, некоторых величин. Последнее позволило ввести в механику и физику новые точки зрения путем замены тех или иных физических законов равносильными им «минимальными принципами». Вместе с тем это открыло также новые пути решения, точного или - приближенного, физических] задач при помощи разыскания минимумов соответствующих функционалов.

1
Оглавление
email@scask.ru