Экстремумы функционалов и вариационное исчисление.
Приведенные примеры дают возможность составить представление о круге задач, которые рассматриваются в вариационном исчислении. Но чтобы точно определить положение вариационного исчисления в математике, мы должны ознакомиться с несколькими новыми понятиями. Напомним, что одним из основных понятий математического анализа является понятие функции. В простейшем случае понятие о функциональной зависимости может быть высказано так. Пусть М какое-либо множество действительных чисел. Если каждому числу х из множества М соответствует некоторое число у, то говорят, что на множестве М определена функция 
Множество М часто называют областью определения функции.
Понятие функционала является прямым и естественным обобщением понятия функции и содержит его как частный случай.
Пусть М есть множество каких угодно объектов. Природа этих объектов для нас сейчас безразлична. Это могут быть числа, точки пространства, линии, функции, поверхности, состояния или даже движения механической системы и т. д. Для краткости мы будем их называть в дальнейшем элементами множества М и обозначать буквой х.
Если каждому элементу х из М соответствует некоторое число у, то говорят, что на множестве М определен функционал 
Если множество М есть множество чисел х, то функционал 
будет функцией одного аргумента. Когда М есть множество пар чисел 
или множество точек плоскости, функционал будет функцией 
двух аргументов и т. д.
Для функционала 
мы поставим следующую задачу:
Среди всех элементов х из М нужно найти тот элемент, для которого функционал 
имеет минимальное значение.
Аналогично формулируется задача о максимуме этого функционала.
Заметим, что если мы у функционала 
изменим знак и будем рассматривать функционал 
то максимумы (минимумы) 
перейдут в минимумы (максимумы) 
Поэтому отдельно изучать максимумы и минимумы не имеет смысла, так как теория их является
весьма сходной, и в последующем мы будем говорить преимущественно о минимумах функционалов.
В задаче о линии наискорейшего ската функционалом, минимум которого ищется, был интеграл (3) — время ската материальной точки вдоль линии. Этот функционал был определен на всевозможных функциях (1), удовлетворяющих условию (2).
В задаче о положении равновесия мембраны функционалом являлась потенциальная энергия (7) деформированной мембраны, и мы должны были найти ее минимум на множестве функций и 
удовлетворяющих граничному условию (8).
Каждый функционал определяется двумя факторами: множеством М элементов х, на котором он задан, и тем законом, по которому каждому элементу х ставится в соответствие число (значение функциопала). Методы разыскания наибольших и наименьших значений функционалов несомненно должны зависеть от свойств множества М.
Вариационное исчисление является частной главой теории функционалов. В нем рассматриваются функционалы, заданные на множествах функций, и задачей вариационного исчисления является построение теории экстремумов таких функционалов.
Особенно большое значение эта ветвь математики приобрела после того, как была установлена ее связь с многими отделами физики и механики. Причину этого можно видеть в следующем. Как будет выяснено ниже, для того чтобы функция давала экстремум функционалу, необходимо, чтобы она удовлетворяла некоторому дифференциальному уравнению. С другой стороны, как уже говорилось в главах, посвященных дифференциальным уравнениям, весьма часто количественные законы механики и физики также записываются в форме дифференциальных уравнений. Как оказалось, многие уравнения такого рода являются вместе с тем и дифференциальными уравнениями вариационного исчисления. Это дало возможность уравнения механики и физики рассматривать как условия экстремумов соответствующих функционалов и физические законы, высказывать в форме требования экстремума, в частности минимума, некоторых величин. Последнее позволило ввести в механику и физику новые точки зрения путем замены тех или иных физических законов равносильными им «минимальными принципами». Вместе с тем это открыло также новые пути решения, точного или - приближенного, физических] задач при помощи разыскания минимумов соответствующих функционалов.
