Метод ломаных линий Эйлера.

Пусть в некоторой области плоскости задано дифференциальное уравнение

Как мы уже отмечали, уравнение (34) определяет в области поле направлений. Возьмем какую-нибудь точку из Ей будет соответствовать проходящая через эту точку прямая с угловым коэффициентом касательная к проходящей через эту точку интегральной линии. На прямой возьмем точку достаточно близкую к (на рис. 9 эта точка обозначена цифрой 1). Через точку проведем прямую с угловым коэффициентом на которой мы отметим точку (на рисунке эта точка обозначена цифрой 2). Затем на прямой соответствующей точке отметим таким же способом точку Пусть при этом Предполагается, конечно, что все точки принадлежат области. Ломаная линия, соединяющая эти точки, называется ломаной Эйлера. Можно было бы провести ломаную

Эйлера и в сторону убывающих х (соответствующие угловые точки на нашем рисунке обозначены —1, —2, —3).

Естественно ожидать, что каждая из проходящих через точку ломаных Эйлера с достаточно короткими звеньями дает некоторое представление об интегральной кривой проходящей через точку и что при уменьшении длин звеньев, когда длина наибольшего звена стремится к нулю, ломаные Эйлера будут приближаться этой интегральной кривой.

Рис. 9.

При этом предполагается, конечно, что такая интегральная линия существует. В самом деле, не трудно показать, что если в области функция непрерывна, то можно выбрать бесконечную последовательность ломаных Эйлера, у которых длина наибольшего звена стремится к нулю, причем эта последовательность сходится к некоторой интегральной кривой I. Однако при этом, вообще говоря, может не оказаться единственности: могут существовать различные последовательности ломаных Эйлера, которые будут сходиться к различным интегральным кривым, проходящим через одну и ту же точку . А. Лаврентьев построил пример такого дифференциального уравнения вида (29) с непрерывной функцией которого в любой окрестности любой точки Р области через точку Р проходит не одна, а по крайней мере две интегральные линии. Для того чтобы через каждую точку области проходила только одна интегральная линия, необходимо предъявить к функции дополнительные требования сверх требования быть непрерывной. Достаточно, например, предположить, что функция непрерывна и имеет ограниченную производную по у во всей области . В этом случае можно показать, что через каждую точку области проходит одна и только одна интегральная линия и что всякая последовательность ломаных Эйлера, проходящих через точку равномерно сходится к этой единственной интегральной линии, когда длина наибольшего звена ломаной стремится к нулю. Поэтому при достаточно малых звеньях ломаную Эйлера можно приближенно принять за интегральную линию уравнения (34).

Из предыдущего видно, что ломаные Эйлера строятся так, что малые куски интегральных линий заменяются отрезками прямых, касательных к этим интегральным линиям. На практике часто приближения для интегральных линий дифференциального уравнения (34) составляются не из отрезков прямых, касающихся интегральных линий, а из отрезков парабол, имеющих более высокий порядок касания с интегральными

кривыми. Таким образом, удается получить приближенное решение с такой же точностью при меньшем числе шагов (меньшем числе звеньев, из которых составляется приближенная линия). Коэффициенты уравнения параболы

имеющей в точке касание порядка с проходящей через эту точку интегральной линией уравнения (34), даются следующими формулами:

и т. д. Многочлен (35) нам нужен только для того, чтобы вычислить его значение при Значения же самих коэффициентов нам не нужны. Существует много способов вычисления значения многочлена (35) при с коэффициентами, определенными по формулам (36), минующих вычисление самих коэффициентов

Существуют приближенные способы разыскания решений дифференциального уравнения (34), основанные и на других идеях. Один из удобных способов разработан академиком А. Н. Крыловым (1863—1945).