Г. РЕЛАКСАЦИЯ, ОБУСЛОВЛЕННАЯ ТЕПЛОВЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ

В настоящем разделе рассмотрено взаимодействие ядерных спинов с тепловыми колебаниями кристаллической решетки. Благодаря этим колебаниям в месте расположения ядер создаются зависящие от времени магнитные поля или градиенты электрических полей, которые, согласно уже рассматривавшемуся много раз в книге механизму, вызывают переходы между энергетическими уровнями спинов. В результате населенности упомянутых уровней достигают равновесных значений.

Квантовомеханическое описание колебаний решетки с помощью фононов, широко используемое в теории физических свойств кристаллов (например, для оценки удельной темплоемкости, теплопроводности и т.д.), применимо и для вычисления спин-решеточных времен релаксации в кристаллах. Ниже будут рассмотрены общие принципы вычисления и сделана оценка порядка величины времен релаксации.

Обоснования применимости используемого метода различны для магнитного и электрического спин-решеточного взаимодействия. Влияние первого из этих взаимодействий, которое может быть в принципе оценено совершенно точно, невозможно связать с временами ядерной релаксации, наблюдаемыми в большинстве кристаллов. Не известно ни одного случая, когда наблюдаемая релаксация могла бы быть вызвана этим механизмом. С другой стороны, электрическая связь колебаний решетки с ядерными квадрупольными моментами более важна и, как известно, обусловливает ядерную релаксацию во многих кристаллах. К сожалению, вычисление времен релаксации производится с точностью до коэффициента, величину которого трудно оценить из-за влияния поляризации электронных оболочек, ковалентной связи и т. д.

Упрощенное рассмотрение вопроса обладает тем преимуществом, что лежащие в его основе физические принципы не затемняются громоздкими вычислениями, которые неизбежны при точном расчете.

§ 9. КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ И ФОНОНЫ

Кратко остановимся на методе описания акустических колебаний решетки с помощью представления о фононах (высокочастотные, или так называемые оптические, колебания нас здесь не интересуют); ясное и строгое описание этого метода можно найти в книге [27].

Положение ядер, например, в кубической решетке с одним ядром на единичную ячейку определяется вектором где а — постоянная решетки, а составляющие безразмерного вектора являются целыми числами. В положении равновесия а вектор и определяет отклонение от равновесия каждого атома (или иона). Движение решетки описывается временной зависимостью составляющих векторов — полное число атомов).

В теории твердого тела показано, что, несмотря на очень сложйый характер временной зависимости составляющих векторов всегда можно построить линейных комбинации этих составляющих, называемых нормальными координатами, которые ведут себя как координаты гармонических осцилляторов. Эти комбинации записываются

в виде разложений по плоским волнам

В разложении (IX.68) составляющие фазового вектора представляют собой безразмерные величины, которые могут принимать дискретные эквидистантные значения в интервале Разность между этими значениями определяется из условия, что полное число векторов равно числу атомов Поэтому плотность точек, описываемых векторами в фазовом пространстве, равна и так как число очень велико, то изменение этого вектора в пространстве можно рассматривать как непрерывное. Каждому вектору сопоставляется три вектора описывающих три возможных направления поляризации атомных колебаний, и три нормальных координаты Каждая нормальная координата удовлетворяет уравнению гармонического осциллятора

Основная задача динамики кристаллической решетки заключается в определении колебательного спектра, т. е. зависимости частоты от фазового вектора и индекса определяющего поляризацию волны.

Приближением, хотя и грубым, но достаточным для наших целей, ярляется приближение Дебая, согласно которому скорость распространения колебаний предполагается независящей от направления распространения и поляризации волны и выражается соотношением

Число типов колебаний, частоты которых лежат между определяется формулой

или, поскольку — объему образца,

Чтобы полное число колебаний было равно числу степеней свободы решетки спектр (IX.71) должен иметь верхний предел при некоторой частоте й, которая находится следующим образом:

откуда

и

Параметр определяемый соотношением

называется дебаевской температурой кристалла. Величина 0 для большинства веществ имеет порядок от 200 до 300° К; таким образом, дебаевская частота оказывается порядка сек.

Последняя ступень в описании колебаний решетки состоит в квантовании координат решеточных осцилляторов. Для этой цели разложение (IX.68) заменяется следующим:

где и — квантовомеханические, эрмитово-сопряженные операторы. Каждому типу колебаний соответствует решеточный осциллятор с частотой о и совокупность эквидистантных энергетических уровней , где — целое число. Единственными отличными от нуля матричными элементами операторов будут следующие:

здесь — масса кристалла, масса отдельного атома.

Когда решеточный осциллятор находится в состоянии удобно говорить, что в кристалле присутствует решеточных квантов или фононов . При этом Условии — оператбр поглощения, а — оператор рождения фононов. Последние подчиняются статистике Бозе, поэтому число фононов , находящихся в кристалле при температуре , определяется законом Планка