§ 7. СПИНОВАЯ ТЕМПЕРАТУРА ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ

Для вычисления стационарного значения ядерной намагниченности необходимо ввести в рассмотрение взаимодействие системы спинов с решеткой. Будем считать, что это взаимодействие слабое по сравнению с взаимодействиями внутри спиновой системы. Точнее, будем предполагать, что

взаимодействия внутри системы спинов достаточно сильные, чтобы в пределах спиновой системы во вращающейся системе координат установилась определенная температура, и что спин-решеточное взаимодействие медленно ее изменяет до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие. Аналогичный подход был уже использован в гл. IX для вычисления времени спин-решеточной релаксации в слабых полях. Однако между этими двумя задачами существует важное различие. В лабораторной системе координат в отсутствие радиочастотных полей спины и решетка представляют собой две обычные термодинамические системы, и ясно, что равновесие между ними установится, когда их температуры будут равны. В рассматриваемом же случае такой простой вывод сделать нельзя, поскольку температуры спинов и решетки определяются в двух различных системах координат и существует опасность совершить ошибку. По этой причине сначала получим результат исходя из общей теории спин-решеточной релаксации, развитой в разделе А, а затем попытаемся его же получить с помощью более простых предпосылок.

Если предположить для простоты, что существует только один сорт спинов, то гамильтониан системы спинов принимает вид

где первый член значительно больше остальных. Согласно (XII.13а), скорость изменения матрицы плотности а, которая теперь описывает всю спиновую систему в лабораторной системе координат, определяется уравнением

где — определено выражением (XII.8а), — выражением (XII.12), — температура решетки.

Предположим, что время корреляции для спин-решеточного взаимодействия очень мало (сильное сужение), как было бы, например, в случае ядерной релаксации, обусловленной электронами проводимости в металлах. Уравнение (XII.105) существенно упрощается, если учесть, что можно заменить единицей, — на а интеграл — простым произведением. В результате получим

Переходя к вращающейся системе координат, т. е. вводя

найдем

Здесь — эффективный гамильтониан во вращающейся системе координат, определяемый выражением (XI 1.86).

Предположим теперь, что а — больцмановская матрица во вращающейся системе координат

Тогда первый коммутатор (XII.107) обращается в нуль, и если ввести обозначения

то уравнение (XII. 107) можно переписать в виде

Умножая обе части (XI 1.108) на и беря шпур по спиновым переменным, получаем

Последнее уравнение имеет некоторое сходство с уравнением (IX. 17). Приравнивая нулю (XII. 109) для установившегося значения

найдем

Предположим, что механизм спин-решеточной релаксации может быть обусловлен взаимодействием ядерных спинов со случайным локальным полем типа случайные поля и в месте расположения двух разных спинов некогерентны. Учитывая, что

и выполняя простой расчет, аналогичный приведенному в гл. IX для формулы (IX.19), получим

где определяется выражением (X.87).

Множитель, равный двум, в знаменателе (XII.111) того же происхождения, что и в отношении времен ядерной релаксации в сильных и слабых полях; он имеет следующий простой смысл: относительная (логарифмическая) скорость релаксации для величины, которая является билинейной по отношению к спинам, например в 2 раза больше, чем для величины линейной относительно спинов, например зеемановского взаимодействия. В случае более сложных механизмов релаксации можно предполагать, что выражение (XII.111) будет приближенно справедливым, если в качестве знаменателя использовать величину где а — число порядка единицы.

Магнитный момент во вращающейся системе координат направлен вдоль эффективного поля и связан с равновесной намагниченностью

в отсутствие радиочастотного поля соотношением

Соотношение (XII.112) выражает закон Кюри в любой системе координат: лабораторной или вращающейся.

Следующее элементарное рассуждение приводит к формуле (XII.112) [3]. Предположим, что для каждого спина взаимодействие с решеткой вызывает изменение его ожидаемого значения, определяемое уравнением

(Индекс обозначает, что изменение обусловлено спин-решеточным взаимодействием), где

Скорость изменения определяемую уравнением (XII.113), можно рассматривать как сумму скоростей двух процессов. Первый процесс и единственный, если температура решетки Тзаключается для каждого спина в изменении за время его . В этом случае нет предпочтительного направления изменения (значок обозначает случайное движение). Соответствующее изменение эффективной зеемановской энергии определяется равенством

а изменение энергии эффективного спин-спинового взаимодействия — выражением

Множитель 2 объясняется билинейной зависимостью от спинов. Второй член в (XII.113) соответствует одному и тому же изменению

для всех спинов (значок В обозначает больцмановское распределение). Соответствующее изменение — равно поскольку составляет угол с направлением эффективного поля Н. С другой стороны, изменение одинаковое для всех спинов, оставляет неизменным. В этом можно убедиться из следующего рассуждения: энергия эффективного спин-спинового взаимодействия является суммой (или точнее полусуммой) зеемановских энергий каждого спина в локальном поле, созданном его соседями. Для разных спинов эти локальные поля имеют различную величину и направление. Однако для всех спинов их сумма равна нулю и одинаковое изменение не изменяет

Стационарное решение находится из условия или

Отсюда, предполагая существование спиновой температуры, найдем

а комбинируя (XII.114) и (XII.115), получим соотношение (XII.112).

Если в образце существует два сорта спинов, а именно «резонансные» спины I и «нерезонансные» спины с временами релаксации и то гамильтониан спин-спинового взаимодействия будет содержать члены представляющие взаимодействия между спинами спинами и между спинами I и Вклад перечисленных членов в соответственно равен

Формула (XII.112) будет еще справедливой при значении определяемом формулой (XII.98), если два времени релаксации равны. Если они различны, то, как следует из (XII.116), в формуле (XII.112) следует заменить выражением

откуда, согласно (XI 1.98), получим

Если из (XII.117) больше, чем из (XII.98), и стационарная намагниченность получается меньшей.

Действительная часть радиочастотной восприимчивости получается из (XII. 112) сразу, поскольку

а ее производная при резонансе равна

Предположение о том, что намагниченность направлена вдоль эффективного поля, приводит к равенству нулю мнимой части восприимчивости Однако это предположение верно лишь приближенно (оно тем более справедливо, чем больше время спин-решеточной релаксации и величина получается из (энергетического) соотношения

равной

Соответствующая кривая имеет лоренцеву форму с шириной

Примечательно, что при резонансе совпадает с асимптотическим значением полученным из уравнений Блоха, если это объясняет относительный успех использования уравнений Блоха для описания насыщения сигнала поглощения в твердых телах.

С другой стороны, асимптотическое значение при резонансе полученное из уравнений Блоха, дается выражением

В пределе для очень сильного поля эта величина меньше, чем полученная в (XII.119), на множитель порядка в большинстве твердых тел на несколько порядков. Приведенная выше теория справедлива только в случае, когда спин-решеточная релаксация может рассматриваться как малое возмущение движения спинов во вращающейся системе координат, т. е. в области, где много больше того уровня, при котором сигнал поглощения начинает насыщаться. Для величин Ни меньших этих значений, но достаточно больших, чтобы вызвать заметное насыщение сигнала поглощения, в настоящее время никакой теории не существует.

Чтобы сравнить с экспериментом формулы (XII.119) и для и читатель может обратиться к работе [3]. Согласие с экспериментом оказывается достаточно хорошим в противоположность теории, основанной на уравнениях Блоха. Особый интерес представляет возможность получения [с помощью (XII.88) для из экспериментов, в которых достигается значительное насыщение, большей информации о скалярных спин-спиновых взаимодействиях , чем это можно сделать из наблюдения сигнала поглощения в отсутствие насыщения. В этом случае скалярные взаимодействия не дают вклада во второй момент резонансной линии, и пока они ненамного больше дипольных взаимодействий, их влияние на форму линии поглощения проявляется сложным образом.