г. Основное уравнение в операторной форме

Случайный гамильтониан можно разложить в ряд

где — случайные функции времени, а — операторы, действующие на переменные системы

Введем функции корреляции

и спектральные плотности

Если — комплексные функции и — неэрмитовые операторы, то для того, чтобы был эрмитовым оператором, необходимо каждому члену сопоставить член Условимся, что

Выражение (VIII.37) для может быть переведено в другое представление с помощью следующих определений:

где

Тогда

где — операторы, действующие на переменные системы

Заменяя в (VIII.33) его разложением (VIII.39), получаем

Пренебрегая несекулярными членами и предполагая для простоты, что

(это равенство справедливо для всех примеров, которые будут рассматриваться ниже), получаем

где вещественная и четная функция . Для нее

Можно показать, что юшмый член приводит к очень малому сдвигу энергии системы который может быть включен во вновь определенный невозмущенный гамильтониан и поэтому опущен в релаксационном уравнении (VIII.41), которое в этом случае примет вид

Это и есть основное уравнение, записанное в операторной форме.

Случай, при котором время корреляции настолько мало, что все произведения представляют собой очень малые величины и все спектральные плотности практически не зависят от частоты и равны (приближение белого спектра), получил название случая «сильного сужения». Для такого случая, возвращаясь от общего уравнения (VIII.40) к соответствующему уравнению для

получим очень компактное соотношение

Предполагая для простоты получаем

Основное уравнение для случая сильного сужения можно получить еще и в другой форме, если исходить из (VIII.33):

Из соотношения

получаем

При очень малых временах корреляции таких, что и

имеем