Главная > Ядерный магнетизм
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Б. АДИАБАТИЧЕСКАЯ ШИРИНА ЛИНИИ

§ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Общий метод построения количественной теории ширины линии был рассмотрен в гл. IV. Функция формы линии поглощения определяется как фурьер-преобразование функции релаксации для намагниченности

Затем предполагается, что гамильтониан представляет собой сумму невозмущенного гамильтониана (значение индекса Т вскоре выяснится) и малого возмущающего гамильтониана . В отсутствие

спектр магнитного резонанса, описываемого состоит из одной или нескольких бесконечно узких линий. Простейшим примером оператора является гамильтониан зеемановского взаимодействия системы спинов с внешним постоянным полем.

Следует отчетливо понимать, что существование дискретного спектра магнитного поглощения с бесконечно узкими линиями, отвечающего не означает, что спектр собственных значений энергии гамильтониана сам обладает этими же свойствами. Ясно, что любой гамильтониан с произвольно сложным спектром может быть добавлен к без изменения формы спектра поглощения если коммутирует с и М.

Возмущающий гамильтониан например гамильтониан диполь-дипольного взаимодействия между спинами, ответствен за расширение бесконечно узких линий спектра . Предполагается, что он достаточно мал и поэтому спектр магнитного поглощения соответствующий полному гамильтониану также характеризуется узкими линиями.

Чтобы понять, как математически описывается сужение, обусловленное движением, лучше всего рассмотреть несколько примеров. В большинстве исследованных до сих пор задач основной гамильтониан системы (индекс Т происходит от слова total — полный) может быть представлен в виде двух частей: гамильтониана зеемановского взаимодействия системы спинов в заданном внешнем поле и гамильтониана коммутирующего как с таки с оператором полной намагниченности спинов

Так, в жидкостях или газах представляет собой кинетическую энергию броуновского движения молекул, в ионных кристаллах — энергию фононов, в несовершенных кристаллах, когда существенной является диффузия, — кинетическую энергию диффундирующих ядер. Однако в качестве гамильтониана Можно использовать не только кинетическую энергию решетки. Скалярное взаимодействие вида между спинами также удовлетворяет условиям

Если существует два сорта спинов — «резонирующие» спины и «нерезонирующие» спины то любое взаимодействие между спинами может быть также включено в гамильтониан Коммутируя как с так и с гамильтониан оказывается совершенно не связанным с явлением магнитного резонанса, однако вследствие того, что он не коммутирует с возмущением он существенным образом сказывается на способе, при помощи которого оператор вызывает расширение бесконечно узких линий спектра, соответствующего . Итак

Хотя разделение на две части и согласно математически не является единственным, физические соображения позволяют избежать неоднозначности.

Выражение для зависящего от времени оператора намагниченности может быть получено в представлении взаимодействия путем решения дифференциального уравнения, которому подчиняется оператор

где

Оператор не будет зависеть от времени, если отсутствует , поскольку — малое возмущение, следует ожидать, что скорость изменения будет малой. Упомянутая скорость изменения определяется выражением

в котором использованы слующие определения:

где

В матричном представлении может быть записано в виде

Это уравнение может быть также записано в форме, промежуточной между операторным выражением и матричным уравнением

Введем величины или которые будут операторами по отношению к имеющими матричные элементы вида

При этих условиях уравнения или могут быть переписаны в квазиоператорной форме:

очень похожей по виду на (IV.23). Отличие состоит в следующем:

1) матричные элементы в являются еще операторами по отношению к

2) оператор зависит от времени, согласно определению

В гл. VIII было показано, что если рассматриваемая система спинов находится под действием зависящего от времени возмущения то существует два различных способа ее описания: квазиклассический, когда

матричные элементы, например являются случайными функциями времени, и квантовомеханический, когда изменение во времени возмущающего гамильтониана определяется гамильтонианом «движения» с помощью соотношения

Задача существенно упрющается, если справедливо предположение о малости времени корреляции ; в этом случае оказывается возможным свести оба способа описания к единому методу. С! другой стороны, при изучении слабого сужения, обусловленного движением с относительно большими временами корреляции, квазиклассический подход оказывается более простым. При этом предполагается, что входящие в уравнение величины являются с-числами, случайными функциями времени, а не операторами, определяемыми

Исходя из простых предположений о поведении случайных функций, можно детально предсказать форму резонансной кривой. С другой стороны, по крайней мере в ряде частных случаев, с помощью квантовомеханического подхода могут быть получены некоторые точные сведения об этой форме, позволяющие установить особенности модели, использующей случайные функции.

Сравним случай жесткой решетки, когда различные матричные элементы в не зависят от времени, со случаем (сужение благодаря движению), когда они случайно изменяются во времени.

Для жесткой решетки, как уже было установлено в гл. IV, в правой части уравнения следует оставить только адиабатические члены с или ибо все другие члены вследствие входящих в них быстро изменяющихся со временем экспоненциальных множителей дают незначительный вклад. Для зависящих от времени матричных элементов это не всегда так, поскольку зависимость от времени, содержащаяся в экспоненте может быть скомпенсирована временной зависимостью матричных элементов Однако мы будем предполагать, что рассматриваемые интервалы времени таковы, что изменение со временем матричных элементов еще достаточно медленное и пренебрежение матричными элементами с оправдано. Тогда фурье-компоненты этих матричных элементов для частот в окрестности разностей е. близких к резонансной частоте, исчезающе малы. Говоря другими словами, соответствующее время корреляции велико по сравнению с ларморовским периодом. Такой вывод справедлив не во всех случаях (например, в жидкостях). Однако в случае жидкости возможны упрощения, связанные с малостью времени корреляции, и становятся применимыми результаты, полученные в гл. VIII. Отбрасывание в членов с равносильно использованию укороченного гамильтониана который коммутирует с (как это уже было сделано для случая жесткой решетки в гл. IV). Второе квантовое число (введенное для того, чтобы различать собственные состояния с тем же самым значением невозмущенной энергии можно выбрать таким, чтобы матричные элементы обращались в нуль, если не выполняются соотношения Тогда уравнение принимает вид

Интегрирование его приводит к выражению

Функция релаксации принимает вид

Чтобы избежать недоразумений, заметим, что черее обозначен оператор

который раньше обозначался через . Поскольку нас интеребуют только разрешенные переходы между состояниями, соответствующими невозмущенному гамильтониану то при суммировании в следует ограничиваться только теми членами, для которых Для дальнейших вычислений должна быть выбрана упрощенная модель. Рассмотрим сначала случай жесткой решетки, когда и выражение, стоящее под знаком интеграла в не зависят от времени. Каждый член в сумме определяется тремя квантовыми числами (поскольку ). Они могут быть заменены двумя величинами , где

а а представляет собой все другие переменные, которые необходимо задать, чтобы определить рассматриваемый член, когда со задано. Тогда становится определенной функцией а для жесткой решетки принимает вид

где частоты образуют квазинепрерывный спектр.

Пусть — число частот, приходящихся на интервал между и для данного значения а. Тогда

Если ввести

то может быть записано в форме

Выражение можно рассматривать, исходя из представления о том, что отклонение со резонансной частоты от невозмущенного значения является случайной переменной, характеризующейся распределением

вероятностей Для такого распределения предположение о гауссовой форме, как мы видели, не является слишком плохим приближением. Запишем выражение в краткой форме

где символ означает среднее, взятое по распределению Если перейти к Зависящему от времени гамильтониану то должно быть заменено на

где

Задача сводится к нахождению распределения для случайной переменной и к вычислению

Модель, выбираемая главным образом из соображений возможности проведения математических вычислений, основана на следующем 1) случайная функция является стационарной и имеет гауссову форму, 2) среднее значение квадрата имеет то же значение, что и в отсутствие движения. Физически условие 2) соответствует предположению о том что в каждый момент времени микроскопическое распределение локальных полей в образце остается таким же, как и для жесткой решетки (например, мгновенная квазикристаллическая структура для жидкости), однако локальные поля в каждой точке флуктуируют со скоростью, определяемой функцией корреляции

где — второй момент резонансной линии для жесткой решетки (обозначенный в гл. IV как . Из предположения о гауссовом характера следует, что имеет тот же характер; при этом

Остается вычислить

Тогда

где заменяется корреляционной функцией причем

Прежде чем делать какие-либо явные предположения о рассмотрим два крайних случая.

1) Время корреляции настолько велико, что Это обозначает, что для величину можно заменить единицей, откуда

Выражение совпадает с тем, которое получается в отсутствие движения. Оно не справедливо, если становится того же порядка, что и но для этих значений произведение очень велико, очень мало и соответствующие вклады в поглощение

пренебрежимо малы. Форма резонансной кривой такая же, что и для жестокой решетки.

2) Если настолько мало, что то для можно написать

где имеет порядок Тогда

Приближение неприменимо для однако вклад для этих значений в интеграл пренебрежимо мал для всех значений за исключением тех, для которых сотс 1, или для (другими словами, очень далеко на крыльях линии). По этой причине кривая поглощения, являющаяся фурье-преобразованием , представляется лоренцевой кривой с полушириной Интуитивные соображения, изложенные во введении, действительно приводят к такому порядку величины для ширины, но не позволяют предсказать лоренцеву форму кривой. Кроме того, согласно формуле для детального описания резонансной кривой в промежуточном случае, когда не является ни большим, ни малым, должен быть выбран вид функции

Выбор функции корреляции облегчается благодаря следующим двум теоремам [3].

1) Второй момент кривой поглощения не чувствителен к движению, приводящему к сужению. Наиболее простое доказательство следует из строго квантовомеханического подхода к задаче о сужении, вызванном движением; второй момент (по отношению к равной нулю частоте) определяется шпуром квадрата коммутатора

где — полный гамильтониан. Гамильтониан, описывающий «движение», коммутирует с поэтому он не может сказаться на величине второго момента.

В качестве иллюстрации рассмотрим использованные здесь случайные функции. Согласно формуле (IV.31),

Если ввести

и в качестве начала отсчета принять невозмущенную резонансную частоту , то

Поскольку — стационарная случайная функция, начало отсчета времени в может быть сдвинуто на любую величину и можно написать

откуда

и

Таким образом, согласно нашей модели, второй момент получается таким как и в отсутствие движения. Отсюда следует, что лоренцева форма, предсказываемая моделью при не может полностью представлять кривую поглощения для всех значений , ибо в противном случае мы получим неограниченный рост второго момента.

2) Хотя величины

и

где — мгновенное распределение частот — функция формы кривой поглощения, совпадают для более высоких моментов, это утверждение неверно:

В частности, покажем, что

Беря производную по от получаем

Беря еще раз производную, найдем

что доказывает теорему.

1
Оглавление
email@scask.ru