§ 10. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДОВ, ИНДУЦИРОВАННЫХ СПИН-ФОНОННЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

Взаимодействие между решеточными колебаниями и спинами может быть представлено в совершенно общем виде гамильтонианом

где — соответственно решеточный и спиновый операторы. Всегда можно предполагать, что операторы безразмерны, имеют матричные элементы порядка единицы и, следовательно, имеет размерность частоты. Оператор который снабжен для краткости индексом вообще говоря, зависит от относительных положений соседних атомов (или ионов в решетке)

Приближенно заменим составляющую вида первым членом ее разложения Такое приближение основано на предположении, что и не изменяется заметно на протяжении межатомного расстояния а; оно справедливо для колебаний с длиной волны значительно большей межатомного расстояния. Однако, несмотря на то что, согласно (IX.72), спектр обрывается на верхнем конце при

такое приближение не сказывается заметно на порядке величины результата.

Можно разложить по составляющим тензора напряжений решетки

записав это разложение символически в виде

Ясно, что — тензор второго ранга, через обозначено — тензор четвертого ранга и т. д. Величины безразмерны, поэтому коэффициенты имеют размерность частоты. Все они сравнимы по величине, и ряд (IX.78) сходится вследствие малости Например, для магнитного диполь-дипольного взаимодействия между двумя спинами имеем

В квантовой теории колебаний решетки являются с-числами, тогда как согласно разложению (IX.74), содержат операторы испускания и поглощения фононов. Матричный элемент для испускания фонона с частотой о, когда в кристалле существует таких фононов, согласно (IX.74) и (IX.75), имеет порядок

Первый член разложения (IX.78) описывает поглощение или испускание одного фонона (прямой процесс). Второй член описывает испускание или поглощение двух фононов или поглощение одного фонона и испускание другого (процесс Рамана).

Прямой процесс. Рассмотрим вероятность перехода, отвечающего члену между двумя состояниями с разностью энергий которая равна энергии испущенного или поглощенного фонона. Порядок величины матричного элемента для перехода между двумя состояниями системы, состоящей из спинов и решетки будет следующим:

Отсюда, вспоминая, что А порядка единицы, и используя (IX.80), находим

Вероятность перехода может быть записана в виде где — энергия испущенного илютоглощенного фонона — плотность конечных состояний фонона.

Используя где определяется с помощью получаем

Число фононов должно быть заменено его равновесным значением (IX.76), которое приблизительно равно ибо даже при самых низких достижимых температурах ядерная спиновая энергия значительно меньше Выражение (IX.82) может быть переписано в виде

где — время релаксации, обусловленное этим процессом.

Характерная особенность прямого процесса, описываемого выражением (IX.83), заключается в пропорциональности квадрату частоты (для зеемановского резонанса квадрату внешнего поля и абсолютной температуре Г. Таким образом, можно написать

Отложим обсуждение величины до следующего параграфа, однако заметим, что, как видно из формулы (IX.83), она исключительно мала, какой бы ни была природа взаимодействия между ядерными спинами и решеткой. Величина взаймодействия в единицах частоты и резонансная частота меньше, чем в 105—107 или более раз, а коэффициент как легко показать, также мал. Можно написать где — число Авогадро — постоянная Джоуля -моль и А — атомная масса в граммах. Если, например, принять см/сек (обычное значение для скорости звука в кристаллах), , то найдем Физическая причина неэффективности прямого процесса состоит в том, что вклад в релаксацию дают только те фононы, которые имеют частоту, близкую , а соответствующая спектральная плотность тепловой энергии, пропорциональная а очень мала.

Рамановский процесс. Среди двухфононных процессов, отвечающих члену рассмотрим только рамановский процесс, т. е. поглощение одного фонона и испускание другого. Этот процесс преобладает над испусканием или поглощением двух фононов. В рамановском процессе частоты обоих участвующих фононов удовлетворяют условию , а может принимать все значения от до . С другой стороны, условие о ограничивает процесс испускания и поглощения двух фононов очень малой частью фононного спектра.

Матричный элемент для перехода, когда существует фононов, таких же, как испущенный, и таких, как поглощенный, имеет следующий порядок:

Для заданной частоты первого фонона о вероятность перехода определяется выражением

где частота второго фонона определяется соотношением Чтобы получить полную вероятность перехода, необходимо просуммировать выражение (IX.85) по всем возможным частотам о первого фонона. Иными словами, (IX.85) должно быть умножено на и проинтегрировано по .

Разность много меньше, чем или , поэтому при интегрировании всюду можно считать за исключением малой части фононного спектра. Если числа заполнения заменить их равновесными значениями (IX.76), то мы получим

В приближении высоких температур, когда представив в виде разложения получим

На практике (IX.87) оказывается уже достаточно хорошим приближением для

В случае низких температур, введя переменную формулу (IX.86) можно записать в форме

где

Для интеграл сводится к предельному значению

и скорость релаксации зависит от температуры как Отметим, что интеграл сходится очень медленно и поэтому закон применим только, когда

Характерными особенностями рамановского процесса являются независимость скорости релаксации от частоты спинового резонанса и зависимость от температуры вида для для

Если сравнить скорость релаксации определяемую (IX.87), со скоростью прямого процесса, определяемой (IX.83), то, предполагая получим

т. е., согласно нашим оценкам для очень большое число. Причина такой относительно большой роли рамановского процесса, как указывалось выше, заключается в том, что в нем участвуют все фононы спектра.

Естественно возникает вопрос, не дают ли члены высшего порядка, такие, как в выражении (IX.78), сравнимого или даже большего вклада в скорость релаксации. Действительно, все члены разложения по степеням оказываются существенными. Введение в процесс дополнительного фонона приводит к дополнительному множителю, равному квадрату матричного элемента, умноженному на и проинтегрированному по о. Этот дополнительный множитель в выражении для вероятности перехода имеет порядок

Полагая находим что, как было показано ранее, заметно меньше единицы.

Следует четко представлять себе, что как прямой, так и рамановский процессы являются процессами первого порядка (в смысле теории возмущений) для возмущающих гамильтонианов соответственно.

В [13] предполагалось, что вклады второго порядка в скорость релаксации могут возникать благодаря интерференции между спин-решеточным членом и ангармоническим членом в выражении для решеточной энергии, ответственным за теплопроводность. Типичный матричный элемент для такого процесса имеет форму

где — спиновое состояние, — состояние решетки. Состояние должно отличаться от на один фонон, должно отличаться от три фонона, испущенных либо поглощенных.

Например, может быть определено числами четырех фононов (среди всех других), — числами — числами . Разность энергии равна Закон сохранения энергии требует

Вероятность перехода имеет порядок

В области высоких температур, когда вычисление приводит к выражению

С другой стороны, грубая оценка дает так что (IX.92) может быть переписано в виде

Последняя величина, возможно, имеет тот же порядок, что и (IX.87), а при температурах выше дебаевской — даже больший.

Интерференция между членами высшего порядка в спин-решеточном взаимодействии или в решеточной энергии как можно видеть, приводит к меньшим вкладам.

Ввиду исключительной грубости оценки (IX.92) интересно было бы исследовать температурную зависимость экспериментальной скорости релаксации с тем, чтобы выяснить, имеет ли какое-либо значение интерференционный член, который не рассматривался другими авторами (см. § II, б; [28]).