§ 2. ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ ЯДЕР И СПИНОВАЯ ТЕМПЕРАТУРА

Как уже отмечалось выше, статистическое описание системы взаимодействующих спинов с помощью спиновой температуры которая может отличаться от температуры решетки [т. е. с помощью матрицы плотности при определенных условиях является хорошим приближением. Поскольку в этом случае состояние системы спинов описывается единственной постоянной Р, разумно предположить, что спин-решеточная релаксация, т. е. выравнивание спиновой и решеточной температур, должна описываться единственной постоянной в соответствии с соотношением

где — температура решетки. Ясно, что вследствие существования закона Кюри для сильных полей равенство (IX.8) совпадает с обычным определением посредством

Используя понятие спиновой температуры, можно вычислить спин-решеточные времена релаксации для произвольных ядерных спинов и произвольных внешних полей. Это делается путем вычисления различными

способами изменения средней энергии системы ядерных спинов.

В приближении высоких спиновой и решеточной температур, практически применимом в экспериментальных условиях, имеем

где единичного оператора; кроме того, используется свойство Таким образом,

Другой путь вычисления состоит в следующем Пусть — населенности — равновесные населенности) собственных состояний ядерной спиновой системы (они неизвестны в слабых полях). В предположении высокой спиновой температуры

Диагональная часть основного уравнения, определяющая скорость изменения населенностей, может быть записана в виде

где — вероятности переходов из состояния в состояние обусловленные сверхтонким взаимодействием (IX.1), всех электронных и ядерных спинов. Уравнение (IX.11) может быть переписано в следующем виде:

Умножая обе стороны (IX.11а) на и суммируя по получаем

откуда, используя соотношение находим

Сравнение (IX.8), (IX.10) и (IX.12) приводит к выражению

которое является совершенно общим и его применимость ни в какой степени не ограничена случаем релаксации ядер, обусловленной взаимодействием с электронами проводимости.

Теперь покажем, что хотя каждая индивидуальная вероятность перехода не может быть вычислена в общем виде, таккак состояния системы ядерных спинов неизвестны, тем не менее выражение (IX. 13) может быть сведено к шпуру и вычислено явно.

Элементарная вероятность перехода электрона проводимости из состояния в состояние где и — электронные спиновые состояния, определяется выражением

Здесь — два ядерных спина, расположенных относительно электрона в точках Умножая (IX.14) на интегрируя по и суммируя по всем спиновым состояниям и при тех же самых упрощающих предположениях, что и в § 1, а именно в случае высокой температуры решетки и сферической поверхности Ферми, получаем для полной вероятности выражение

где

а — волновое число на поверхности Ферми, определяемое равенством

Для вывода (IX.15) было использовано соотношение

где — составляющие спина Из выражения (IX.13) для и (IX.15) для немедленно получаем

Соотношение (IX. 16) может быть получено сразу из общего основного уравнения (VIII.66)

которое, если справедливо представление о спиновой температуре, переходит в следующее:

Умножая обе части на 360 и вычисляя шпур по отношению к ядерным спиновым переменным, получаем

Отсюда следует, что для принятой формы скалярного сверхтонкого гамильтониана величина должна определяться выражением, аналогичным (IX.16), если время корреляции, соответствующее очень мало.

Среди коэффициентов , которые, согласно (IX.15а), могут быть записаны как ибо они зависят только от расстояния коэффициент будет наибольшим и пока длина волны аномально велика всеми другими коэффициентами можно в первом приближении пренебречь. В рамках метода описания, использующего понятие локального поля, создаваемого электронами в местах расположения ядер, пренебрежение коэффициентами соответствует предположению о том, что локальные электронные поля в местах расположения двух различных ядер некогерентны. Из (IX.15а) видно, что тогда из (IX. 16) получим

Если написать где — зеемановская энергия, и

представляет собой сумму диполь-дипольного и косвенного скалярного спин-спинового взаимодействий (если последнее существует), то из (IX. 18) легко найти

Теперь мы приходим к очень интересному выводу, основанному исключительно на предположении о некогерентности локальных полей, которые «чувствуют» различные ядерные спины: в сильных полях, где имеем

тогда как в полях значительно более слабых, чем локальные поля,

Рассмотрим противоположный и менее обычный предельный случай полной корреляции между локальными полями в местах расположения соседних спинов, т. е. случай, когда длина волны Ферми много больше постоянной решетки и все коэффициенты в (IX.16) равны между собой. В этом случае

Легко видеть, что для диполь-дипольного взаимодействия между одинаковыми спинами, собственное значение равно , где — укороченный дицоль-дипольный гамильтониан, использованный для вычислений второго момента линии ядерного резонанса в гл. IV. Следовательно, если скалярное спин-спиновое взаимодействие отсутствует и в образце имеются спины только одного сорта, то равенства (IX.19) и (IX.20) могут быть заменены на следующее:

Здесь Р равно 2 для некоррелированных и 3 для сильно коррелированных электронных полей в местах расположения ядер, а второй момент резонансной линии.

Существенная черта приведенных вычислений заключается в пренебрежении корреляциями между индивидуальными электронами проводимости. Это приближение не будет достаточно хорошим при вычислении времени релаксации для сверхпроводящего состояния металла, когдау согласно современным представлениям, имеют место сильные корреляции между электронами.

Невозможно изложить метод вычисления для сверхпроводящего состояния, не вдаваясь в детали теории сверхпроводимости, что выходит за рамки настоящей книги. Это вычисление, которое можно найти в работе [1], позволяет предсказать резкое возрастание скорости релаксации в равном нулю поле при уменьшении температуры ниже критической Возрастание скорости релаксации наступает после того, как она достигает минимума.

Наконец, между временем релаксации определяемым (IX.7) и сдвигом Найта, определяемым выражением (VI.77), может быть установлено важное соотношение

где — парамагнитная восприимчивость, приходящаяся на электрон проводимости. Если исходить из модели независимых электронов, то, как хорошо известно (и будет показано в следующем параграфе),

Из (IX.21а) следует так называемое соотношение Корринги

Приближение независимых электронов в противоположность так называемой теории коллективизированных электронов [2] дает, как известно, неправильные результаты для электронной парамагнитной восприимчивости. Поэтому кажется целесообразным использовать в (IX.21) те значения и для восприимчивости и плотности состояний, которые следуют из теории коллективизированных электронов. Уравнение (IX.22) должно быть заменено на следующее:

где соответствуют приближению независимых электронов.